Soluzione di un'equazione differenziale
Salve, mi piacerebbe se qualcuno cortesemente potesse darmi una dritta per la soluzione generale di questa equazione (chiedo indulgenza perché non ho potuto ancora approfondire abbastanza l'argomento):
$y'(x) = sqrt(y(x)) + x$
Grazie
$y'(x) = sqrt(y(x)) + x$
Grazie
Risposte
In questo caso la sostituzione $u(x) = sqrt(y(x))$ può essere d’aiuto.
*** EDIT: Invece no. La sostituzione trasforma la EDO in $2u(x) u^\prime (x) = u(x) + x$, in cui le variabili non si separano.
*** EDIT: Invece no. La sostituzione trasforma la EDO in $2u(x) u^\prime (x) = u(x) + x$, in cui le variabili non si separano.
Ciao zauberzahlen,
Benvenuto sul forum!
Hai cominciato sul pesante...
L'equazione differenziale ordinaria del primo ordine non lineare proposta è un'equazione differenziale di Chini, introdotta dal matematico Mineo Chini (1866-1933) nel 1924, che può essere considerata una generalizzazione di quelle di Abel e Riccati. In generale ha la forma seguente:
$y'(x) = f(x) \cdot [y(x)]^n + g(x) y(x) + h(x) $
ove $n $ non è necessariamente intero. In tale equazione differenziale se
$\alpha = [f(x)]^{- n - 1} [h(x)]^{- 2n + 1} [(n f(x) g(x) + f'(x))h(x) - f(x) h'(x)]^n $
è indipendente da $x$, ponendo $ y(x) := [\frac{h(x)}{f(x)}]^{1/n} u(x) $ ci si riconduce ad una equazione differenziale a variabili separabili. Nel caso dell'equazione differenziale proposta si ha $ n = 1/2 $, $f(x) = 1 $, $g(x) = 0 $ e $h(x) = x $, per cui si trova $\alpha = i $ (indipendente da $x $) e ci si riconduce ad una equazione differenziale a variabili separabili ponendo
$y(x) := x^2 u(x) $
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L'equazione differenziale ordinaria del primo ordine non lineare proposta è un'equazione differenziale di Chini, introdotta dal matematico Mineo Chini (1866-1933) nel 1924, che può essere considerata una generalizzazione di quelle di Abel e Riccati. In generale ha la forma seguente:
$y'(x) = f(x) \cdot [y(x)]^n + g(x) y(x) + h(x) $
ove $n $ non è necessariamente intero. In tale equazione differenziale se
$\alpha = [f(x)]^{- n - 1} [h(x)]^{- 2n + 1} [(n f(x) g(x) + f'(x))h(x) - f(x) h'(x)]^n $
è indipendente da $x$, ponendo $ y(x) := [\frac{h(x)}{f(x)}]^{1/n} u(x) $ ci si riconduce ad una equazione differenziale a variabili separabili. Nel caso dell'equazione differenziale proposta si ha $ n = 1/2 $, $f(x) = 1 $, $g(x) = 0 $ e $h(x) = x $, per cui si trova $\alpha = i $ (indipendente da $x $) e ci si riconduce ad una equazione differenziale a variabili separabili ponendo
$y(x) := x^2 u(x) $
Grazie pilloeffe, non immaginavo di infilare le mani in un simile nido di vipere!
Adesso cercherò di capire meglio la questione
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