Classificazione massimi e minimi assoluti
classificare eventuali punti critici della funzione
$f(x,y)=xy^4-2xy^2+arctanx$
Determinare inoltre , minimi e massimi assoluti nella regione di piano $D={(x,y)inRR^2: -1<=x<=1 , -2<=y<=2}$
allora per determinare i punti critici calcolo le derivate parziali e le pongo uguali a zero
$f'_x=y^4-2y^2+1/(1+x^2)=0$
$f'_y=4xy^3-4xy=0$
mettendo a sistema queste due ottengo 3 sistemi da cui ricavo 5 punti critici
${(x=0), (y^2(y^2-2)=0):}$
${(y=1),(1-2+1/(1+x^2)=0):}$
${(y=-1),(1-2+1/(1+x^2)=0):}$
da questi 3 sistemi ricavo 5 punti $A(0,0)$ $B(0,sqrt2)$ $C(0,-sqrt2)$ $D(0,-1)$ $E(0,1)$
ecco il mio primo dubbio io credo che il procedimento sia fatto bene però controllando su wolfram mi dice che gli unici due punti sono $D,E$ perchè mi dice che sono solo questi due??' P.s non ho determinato i punti proprio per questo fatto non volevo fare calcoli inutili
per la seconda parte dell'esercizio disegnando so che il mio dominio è un rettangolo e per trovare i miei punti di massimo e minimo assoluti devo parametrizzare le 4 curve(ovvero rette) e determinarmi tutti punti...
$gamma_1:{(x=1),(y=t):}$ $-2<=t<=2$
$G_1(t)=t^4-2t^2+pi/4$
$G'_1(t)=4t^3-4t=0$
e da cui ricavo 3 valori di $t$ $(t=0,t=1,t=-1)$
ora se sostituisco tutte le $t$ nell'equazione parametrizzata ottengo
$A_1(1,-2)$ $A_2(1,2)$ $A_3(1,0)$ $A_4(1,1)$ $A_5(1,-1)$
ora se il procedimento è fatto bene posso continuare per le altre rette il problema è che mi sono usciti 12 punti che forse potrebbero essere un tantinello esagerato...se mi confermate che il procedimento è fatto bene allora dormo tranquillo e ricontrollo magari i calcoli
Grazie per la pazienza siete FANTASTICI
$f(x,y)=xy^4-2xy^2+arctanx$
Determinare inoltre , minimi e massimi assoluti nella regione di piano $D={(x,y)inRR^2: -1<=x<=1 , -2<=y<=2}$
allora per determinare i punti critici calcolo le derivate parziali e le pongo uguali a zero
$f'_x=y^4-2y^2+1/(1+x^2)=0$
$f'_y=4xy^3-4xy=0$
mettendo a sistema queste due ottengo 3 sistemi da cui ricavo 5 punti critici
${(x=0), (y^2(y^2-2)=0):}$
${(y=1),(1-2+1/(1+x^2)=0):}$
${(y=-1),(1-2+1/(1+x^2)=0):}$
da questi 3 sistemi ricavo 5 punti $A(0,0)$ $B(0,sqrt2)$ $C(0,-sqrt2)$ $D(0,-1)$ $E(0,1)$
ecco il mio primo dubbio io credo che il procedimento sia fatto bene però controllando su wolfram mi dice che gli unici due punti sono $D,E$ perchè mi dice che sono solo questi due??' P.s non ho determinato i punti proprio per questo fatto non volevo fare calcoli inutili
per la seconda parte dell'esercizio disegnando so che il mio dominio è un rettangolo e per trovare i miei punti di massimo e minimo assoluti devo parametrizzare le 4 curve(ovvero rette) e determinarmi tutti punti...
$gamma_1:{(x=1),(y=t):}$ $-2<=t<=2$
$G_1(t)=t^4-2t^2+pi/4$
$G'_1(t)=4t^3-4t=0$
e da cui ricavo 3 valori di $t$ $(t=0,t=1,t=-1)$
ora se sostituisco tutte le $t$ nell'equazione parametrizzata ottengo
$A_1(1,-2)$ $A_2(1,2)$ $A_3(1,0)$ $A_4(1,1)$ $A_5(1,-1)$
ora se il procedimento è fatto bene posso continuare per le altre rette il problema è che mi sono usciti 12 punti che forse potrebbero essere un tantinello esagerato...se mi confermate che il procedimento è fatto bene allora dormo tranquillo e ricontrollo magari i calcoli
Grazie per la pazienza siete FANTASTICI
Risposte
Ti dico una cosa, @lepre561, non faccio derivate parziali dal 2009. Però noto questo
Come soluzione una è l'origine. Però se, ad esempio, nella prima derivata parziale sostituisco ottengo $0^4-2\cdot 0^2+1/(1+0)= 1 \ne 0$.
Nelle secondarie due giorni fa ho detto una scemenza, ho fatto un errore banale; prometto che se sbaglio anche questa per una settimana mi chiudo nelle presentazioni e nella moderazione senza dire una parola di matematica (lo faccio come fioretto).
"lepre561":
$ f'_x=y^4-2y^2+1/(1+x^2)=0 $
$ f'_y=4xy^3-4xy=0 $
[...]
da questi 3 sistemi ricavo 5 punti $ A(0,0) $ $ B(0,sqrt2) $ $ C(0,-sqrt2) $ $ D(0,-1) $ $ E(0,1) $
Come soluzione una è l'origine. Però se, ad esempio, nella prima derivata parziale sostituisco ottengo $0^4-2\cdot 0^2+1/(1+0)= 1 \ne 0$.
Nelle secondarie due giorni fa ho detto una scemenza, ho fatto un errore banale; prometto che se sbaglio anche questa per una settimana mi chiudo nelle presentazioni e nella moderazione senza dire una parola di matematica (lo faccio come fioretto).
e quindi dove sta l'errore?
Che se poi ti viene soluzione hai fatto qualche errore tra qui
e qui
come dire, se una cosa è soluzione è soluzione in teoria, non cambia se faccio manipolazioni ai sistemi.
"lepre561":
$ f'_x=y^4-2y^2+1/(1+x^2)=0 $
$ f'_y=4xy^3-4xy=0 $
e qui
$ {(x=0), (y^2(y^2-2)=0):} $
$ {(y=1),(1-2+1/(1+x^2)=0):} $
$ {(y=-1),(1-2+1/(1+x^2)=0):} $
come dire, se una cosa è soluzione è soluzione in teoria, non cambia se faccio manipolazioni ai sistemi.
"lepre561":
controllando su wolfram mi dice che gli unici due punti sono $D,E$ perchè mi dice che sono solo questi due??
Avevi promesso che non avresti fatto più errori algebrici
Dalla $f_y=4xy^3-4xy=0$ abbiamo che $xy(y^2-1)=0$ quindi si annulla solo per $x=y=0$ oppure $y=+-1$
Andiamo a vedere cosa fa la $f_x$ imponendo questi vincoli:
Per $x=0$ diventa $(y^2-1)^2=0$ quindi $y=+-1$ e abbiamo i due punti $(0,+-1)$
Per $y=0$ diventa $1/(1+x^2)=0$ quindi la risposta è MAI.
Per $y=+-1$ diventa in entrambi i casi $1/(1+x^2)=1$ quindi è vera per $x=0$ e ci tornano i due punti di prima.
Morale, ci sono solo quei due punti critici.
ok giustissimo...invece per i punti di massimo e minimo assoluto?
"lepre561":
ok giustissimo...invece per i punti di massimo e minimo assoluto?
Non farlo come lo stavi facendo che poi non capisci più nulla.
Per prima cosa segnati i valori dei punti $f(0,+-1)=?$ e mettili da parte.
Dobbiamo analizzare il bordo quindi iniziamo dai vertici e calcoliamoci i valori $f(1,+-2)$ e $f(-1,+-2)$ e mettiamo anche questi da parte.
Poi troviamoci le curve $f(1,y)$, $f(-1,y)$, $f(x,2)$ e $f(x,-2)$ e rispettivi punti critici.
Alla fine troverai 6 punti:
$f(+-1,0)=+-pi/4$
$f(+-1,+-1)=+-(pi/4-1)$
Confrontali con quelli messi da parte e troverai due punti di max e due punti di min assoluto.
non ho capito come facciamo a trovarci le curve con i rispettivi punti critici...cioè faccio una sostituzione?
cioè calcolo la curva in $f(1,y)$ e sostituisco $1,y$ nella mia funzione e poi procedo annullando la derivata prima normalmente?
cioè calcolo la curva in $f(1,y)$ e sostituisco $1,y$ nella mia funzione e poi procedo annullando la derivata prima normalmente?
Certo che sostituisci. Tagli le fette di funzione lungo i 4 bordi.
La scrittura, per esempio, $f(1,y)$ ti dice tutto. La leggi e dici "toh tiene costante la x=1 e fa variare la y"
Quando hai finito la riguardi e sai cosa stavi analizando. Sono importanti perchè ti ricordano che i punti che troverai saranno tutti del tipo $(1, y_0)$. Invece col parametro t alla fine non capivi più una mazza, no?
$f(1,y)=-f(-1,y)=y^4-2y^2+pi/4$
$f(x,+-2)=8x+arctan(x)$
Studiale.
La scrittura, per esempio, $f(1,y)$ ti dice tutto. La leggi e dici "toh tiene costante la x=1 e fa variare la y"
Quando hai finito la riguardi e sai cosa stavi analizando. Sono importanti perchè ti ricordano che i punti che troverai saranno tutti del tipo $(1, y_0)$. Invece col parametro t alla fine non capivi più una mazza, no?
$f(1,y)=-f(-1,y)=y^4-2y^2+pi/4$
$f(x,+-2)=8x+arctan(x)$
Studiale.
$f'(1,y)=4y^3-4y=4y(y^2-1)=0$
$y=0,y=1,y=-1$ ho trovato 3 punti
nella seconda se facessi la derivata scopro che non si annulla mai quindi non ho possibili punti di massimo o minimo
giusto?
$y=0,y=1,y=-1$ ho trovato 3 punti
nella seconda se facessi la derivata scopro che non si annulla mai quindi non ho possibili punti di massimo o minimo
giusto?
Giusto, sono sempre crescenti quindi i massimi e minimi stanno nei valori minimi e massimi degli intervalli...che abbiamo già trovato...sono i vertici.
E ti ho già scritto tutti i punti associati ai vari valori dei punti che hai trovato lungo $f(+-1,y)$, ovvero le '"altezze" della funzione in quei punti.
Ora devi solo confrontarli tutti e trovare quello/i più "alti/bassi"
E ti ho già scritto tutti i punti associati ai vari valori dei punti che hai trovato lungo $f(+-1,y)$, ovvero le '"altezze" della funzione in quei punti.
Ora devi solo confrontarli tutti e trovare quello/i più "alti/bassi"
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