Punti critici con hessiano nullo
$f(x,y)=2(x^4+y^4-1)-(x+y)^2$ so che nell'origine ho l'Hessiano nullo e non poso detrminarmi il punto
pongo allora
$f(x,y)>=f(0,0)$
e ottengo
$2(x^4+y^4)-(x+y)^2>=0$
ho provato a fare varie restrizioni
$f(x,0)=2x^4-x^2$ non posso dire nulla perchè ho sempre lo stesso segno
$f(x,x)=4x^4-4x^2$ e pure in questo caso non posso dire nulla
Come faccio a determinare la natura del mio punto dato che tale disequazione non riesco a risolverla graficamente?
Aiuto
pongo allora
$f(x,y)>=f(0,0)$
e ottengo
$2(x^4+y^4)-(x+y)^2>=0$
ho provato a fare varie restrizioni
$f(x,0)=2x^4-x^2$ non posso dire nulla perchè ho sempre lo stesso segno
$f(x,x)=4x^4-4x^2$ e pure in questo caso non posso dire nulla
Come faccio a determinare la natura del mio punto dato che tale disequazione non riesco a risolverla graficamente?
Aiuto
Risposte
Ma perchè non fai un'analisi completa?
Hai notato che la $f(x,y)$ è perfettamente simmetrica rispetto all'origine? Sai provarlo?
Hai trovato tutti i punti critici? Ce ne sono 3 in corrispondenza dei quali la funzione assume valore $f(0,0)=-2$ e $f(+-1/sqrt(2),+-1/sqrt(2))=-5$. Non ti dice nulla? Aggiungici che dall'hessiana si scopre che sono due punti di minimo e visto che la funzione va $+oo$ in tutte le direzioni sono anche punti di minimo assoluti.
Già questo dovrebbe dirti molto sul punto (0,0). Può essere un altro minimo?
Ma se proprio vuoi strafare allora sostiuisci $y=mx$ e analizza il fascio di curve. Troverai nuovamente le info che hai già, più il fatto ogni sezione della curva al variare di m ha due punti di flesso...e sono più interni rispetto ai massimi e i minimi.
Questo dovrebbe toglierti ogni dubbio e giustificare la risposta che in (0,0) c'è un punto di ????
Hai notato che la $f(x,y)$ è perfettamente simmetrica rispetto all'origine? Sai provarlo?
Hai trovato tutti i punti critici? Ce ne sono 3 in corrispondenza dei quali la funzione assume valore $f(0,0)=-2$ e $f(+-1/sqrt(2),+-1/sqrt(2))=-5$. Non ti dice nulla? Aggiungici che dall'hessiana si scopre che sono due punti di minimo e visto che la funzione va $+oo$ in tutte le direzioni sono anche punti di minimo assoluti.
Già questo dovrebbe dirti molto sul punto (0,0). Può essere un altro minimo?
Ma se proprio vuoi strafare allora sostiuisci $y=mx$ e analizza il fascio di curve. Troverai nuovamente le info che hai già, più il fatto ogni sezione della curva al variare di m ha due punti di flesso...e sono più interni rispetto ai massimi e i minimi.
Questo dovrebbe toglierti ogni dubbio e giustificare la risposta che in (0,0) c'è un punto di ????
Ti metto pure il grafico generico delle sezioni di curva...questa è per m=1 così incoccia anche i punti di minimo.
"Bokonon":
Ma perchè non fai un'analisi completa?
Hai notato che la $f(x,y)$ è perfettamente simmetrica rispetto all'origine? Sai provarlo?
Hai trovato tutti i punti critici? Ce ne sono 3 in corrispondenza dei quali la funzione assume valore $f(0,0)=-2$ e $f(+-1/sqrt(2),+-1/sqrt(2))=-5$. Non ti dice nulla? Aggiungici che dall'hessiana si scopre che sono due punti di minimo e visto che la funzione va $+oo$ in tutte le direzioni sono anche punti di minimo assoluti.
Già questo dovrebbe dirti molto sul punto (0,0). Può essere un altro minimo?
Ma se proprio vuoi strafare allora sostiuisci $y=mx$ e analizza il fascio di curve. Troverai nuovamente le info che hai già, più il fatto ogni sezione della curva al variare di m ha due punti di flesso...e sono più interni rispetto ai massimi e i minimi.
Questo dovrebbe toglierti ogni dubbio e giustificare la risposta che in (0,0) c'è un punto di ????
Allora mi trovo con i punti da te citati...però non riesco a capire cosa intendi che la funzione fa a $+infty$ in tutte le direzioni come lo dimostro?
Ho provato a fare la restrizione sull'incremento $f(x;mx)=2(x^4+(mx)^4)-(x+mx)^2$ ma non ho capito come far risultare i due punti di flesso...
Qualche chiarimento?
Te lo do il chiarimento ma devi assolutamente promettermi che commetterai meno errori algebrici d'ora in poi!
In tutti e 4 i quadranti (ovvero sia che $x,y>0$ o $x,y<0$ o che i segni siano misti) i termini $x^4$ e $y^4$ sono positivi e al crescere ad infinito letteralmente stracceranno il termine al quadrato sottratto. Ci si arriva anche senza ragionamenti rigorosi. I termini alla quarta, vincono, punto.
$f(x,mx)=2(m^4+1)x^4-(m+1)^2x^2-2$
Fanne la derivata prima e seconda!
Ponendole uguali a zero troverai sempre due soluzioni (tolto il punto critico x=0 ed avranno un denominatore sempre positivo). E noterai anche un'evidente relazione fra i flessi F e i minimi M, al variare di m, ovvero $sqrt(3)F=M$ quindi i flessi sono compresi fra l'origine e il minimi in tutte le direzioni (eccetto una).
P.S. Suggerimento: sia i flessi che i minimi si annullano per un evidente valore di m...
Mentre per m=1 ti già postato pure il grafico e ti ritrovi con i punti critici già dedotti dalla f(x,y).
Quindi riassumendo, una volta che abbiamo escluso che (0,0) possa essere un minimo, restano solo 2 possibilità...trai la deduzione.
In tutti e 4 i quadranti (ovvero sia che $x,y>0$ o $x,y<0$ o che i segni siano misti) i termini $x^4$ e $y^4$ sono positivi e al crescere ad infinito letteralmente stracceranno il termine al quadrato sottratto. Ci si arriva anche senza ragionamenti rigorosi. I termini alla quarta, vincono, punto.
$f(x,mx)=2(m^4+1)x^4-(m+1)^2x^2-2$
Fanne la derivata prima e seconda!
Ponendole uguali a zero troverai sempre due soluzioni (tolto il punto critico x=0 ed avranno un denominatore sempre positivo). E noterai anche un'evidente relazione fra i flessi F e i minimi M, al variare di m, ovvero $sqrt(3)F=M$ quindi i flessi sono compresi fra l'origine e il minimi in tutte le direzioni (eccetto una).
P.S. Suggerimento: sia i flessi che i minimi si annullano per un evidente valore di m...
Mentre per m=1 ti già postato pure il grafico e ti ritrovi con i punti critici già dedotti dalla f(x,y).
Quindi riassumendo, una volta che abbiamo escluso che (0,0) possa essere un minimo, restano solo 2 possibilità...trai la deduzione.
Ok allora mi sono trovato il punto per cui si annullano le derivateche dovrebbe essere $m=-1$ cosa dovrei capire da questo...
Per quanto riguarda il fatto di $+infty$ ho capito il concetto...però non ho capito perché si esclude che $(0,0)$ sia un altro punto di minimo
Chiedo scusa se ancora ci devo arrivare ma preferisco capirlo bene una volta che valga per sempre...
Per quanto riguarda il fatto di $+infty$ ho capito il concetto...però non ho capito perché si esclude che $(0,0)$ sia un altro punto di minimo
Chiedo scusa se ancora ci devo arrivare ma preferisco capirlo bene una volta che valga per sempre...
"lepre561":
Ok allora mi sono trovato il punto per cui si annullano le derivateche dovrebbe essere $m=-1$ cosa dovrei capire da questo...
Tagliando in tutte le direzioni abbiamo scoperto che tutte le funzioni saranno come quella in blu, sempre più "ammorbidita" quando ci si avvicina all'angolo di 135° per poi diventare la rossa esattamente a 135°, ovvero senza flessi e un solo minimo in 0. Quindi avvicinandoci a (0,0,0) da tutte le direzioni, arriviamo in salita, mentre a 135° ci arriviamo in discesa.
Anche se solo per una direzione, vi è un cambio di pendenza fra esse e tutte le altre direzioni...quindi è un punto di sella.
"lepre561":
Per quanto riguarda il fatto di $+infty$ ho capito il concetto...però non ho capito perché si esclude che $(0,0)$ sia un altro punto di minimo
Abbiamo derivato una marea di informazioni che lo giustificano...
Se davvero riesci a disegnare una funzione 2D che vada a $+oo$ in entrambe le direzioni, che abbia tre punti critici e che tutti e tre siano minimi, probabilmente vinceresti la medaglia Field.
Provaci e ti sarà tutto chiaro...poi ragiona con i teoremi: prendi un intervallo chiuso e invoca Weierstrass ad esempio.
Abbiamo provato fuori da ogni dubbio dallo studio della funzione che ha tre punti critici di cui due minimi assoluti (+ tutto il resto che non ripeto): anche se tu non sapessi nulla di nulla di matematica, potresti affermare che non può esserci un terzo minimo (relativo). Solo per andare da $f(x,y)=c$ (con $-5<=c<-2$) verso $f(x,y)=-2$ lungo "qualche" direzione dovrà cambiare concavità? O no? Se si parte da un punto di minimo si può solo salire da esso...vedi sopra dopo che avrai scoperto che non vincerai la medaglia Field.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo