Dimostrazione di una diseguaglianza.

[galles90]

Buongiorno,

siano $x_1,x_2,...,x_n$ numeri reali positivi, dove almeno due numeri siano diversi tra di loro, devo dimostrare la seguente relazione:

$x_1+x_2+...+x_n=n to x_1*x_2*...*x_n<1$.

Dovrei procedere per induzione, cioè dovrei far vedere che valga per un certo indice $n'$ la relazione sudetta, e dimostrare che è vera per tutti gli indici $n$.
Sia quindi $n'=2$, considerando $x_1 ne x_2$ con $x_1, x_2$ entrambi maggiori di zero,allora si ha la seguente relazione:

$x_1+x_2=2 to x_1*x_2<1$.

Dalle ipotesi ottengo il seguente sistema con le varie relazioni, cioè:

\(\displaystyle S=\begin{cases} x_1<1 \\ 1


$x_1*x_2=(2-x_2)x_2$,
essendo che $(2-x_2)<1$ e $x_2>1$, si ha che $x_1*x_2<1$, va bene come prima parte ?

Cordiali saluti.

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Risposte

vict85

5 apr 2019, 12:23

Non hai sufficientemente motivato la tua ultima affermazione. Io lo avrei comunque fatto così. A meno di riordinare gli elementi, puoi sempre supporre che sia \(x_1 > x_2\). A questo punto puoi scrivere i due valori come \(x_1 = 1+\epsilon\) e \(x_2 = 1-\epsilon\). Allora \(( 1 + \epsilon )( 1 - \epsilon) = 1 - \epsilon^2\) che è un numero positivo minore di \(1\) perché \(\epsilon\) è un intero positivo minore di \(1\).

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galles90

5 apr 2019, 14:05

Ciao vic85 grazie per la risposta,

comunque sia avevo supposto qualcosa che è meglio non postare

Considerando sempre le ipotesi da me fatte, potrei anche dire cosi:
$x_1*x_2=(2-x_2)x_2<(2-x_2)$
essendo che $2>x_2>1$, si ha che $2-x_2<1$.

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vict85

5 apr 2019, 15:09

Ma \(x_2 > 1\) quindi \(2-x_2 < (2-x_2)x_2\).

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galles90

5 apr 2019, 16:13

vic85, capiscimi,devo imparare, abbi pazienza, provo per l'ultima volta, almeno non avrò più dubbi:
per semplicità prendo due numeri reali $a,b$ maggiori di zero, supposto che $a<1, b>1$, dalla relazione $a+b=2$
$b=2-a to b^2=(2-a)^2=4+a^2-4a to a^2=b^2+4a-4,$
$ab=a(2-a)=2a-a^2=2a-(b^2+4a-4)=2a-b^2-4a+4=4-2a-b^2<4-2-b^2=2-b^2<1$

Come va cosi ?

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vict85

5 apr 2019, 20:43

Capisco, infatti ti sto correggendo.
Siccome \(a<1\), \( -2a > -2\). Per esempio, \(-2 \cdot 0.5 = -1 > -2\). Pertanto \(4 -2a - b^2 > 4-2-b^2\). Infatti, nel caso di \(a = 0.5\) si ha \(4-2a-b^2 = 3-b^2 > 2-b^2 = 4-2-b^2\).

Devo dire che, probabilmente distratto dalla mia soluzione precedente, in questo momento non mi viene alcuna soluzione semplice che parta dalla tua impostazione. Si può ovviamente risolvere analiticamente osservando che \(\frac{d(2-a)a}{da} = 2(1-a) > 0\), che il valore in \(a=0\) è \(0\) e che \((2-a)a = 1\) ha come unica soluzione \(a = 1\) ovvero il caso escluso dalle ipotesi.

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vict85

5 apr 2019, 21:53

Ho trovato come farlo a partire dalla tua formula. Ti dò un suggerimento. Chiedersi se \(A<1\) equivale a chiedersi se \(1-A>0\).

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galles90

6 apr 2019, 17:46

Ciao vict85, grazie per la risposta, sei gentilissimo, comunque ho fatto vari tentativi prendendo spunto da questo $1-a>0$, ma alla fine mi ritrovo qualcosa che non va, comunque riporto i passaggi per correttezza, quindi:

i valore sono sempre li stessi, quindi si ha che $ab<1 $, se e soltanto se $ab-1<0$,
$ab-1=a(2-a)-1=2a-a^2-1<2-a^2-1=1-a^2<(1+a)<2$

P.s. si potrebbe risolvere usando la seguente relazione $sqrt(ab) le (a+b)/2$, con $a,b in mathbb{R}, a,b ge 0$ ?

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vict85

7 apr 2019, 12:15

\(1-2a+a^2\) è un prodotto notevole...

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galles90

7 apr 2019, 13:59

quindi dovrei dire,
$ ab-1=a(2-a)-1=2a-a^2-1=-(a-1)^2<0$

dovrebbe trovarsi, essendo che $a^2-2a+1>0, forall a in mathbb{R}$, quindi $-(a-1)^2<0 forall a in mathbb{R}$, se si trova, sono felice

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[vict85]

Non hai sufficientemente motivato la tua ultima affermazione. Io lo avrei comunque fatto così. A meno di riordinare gli elementi, puoi sempre supporre che sia \(x_1 > x_2\). A questo punto puoi scrivere i due valori come \(x_1 = 1+\epsilon\) e \(x_2 = 1-\epsilon\). Allora \(( 1 + \epsilon )( 1 - \epsilon) = 1 - \epsilon^2\) che è un numero positivo minore di \(1\) perché \(\epsilon\) è un intero positivo minore di \(1\).

[galles90]

Ciao vic85 grazie per la risposta,

comunque sia avevo supposto qualcosa che è meglio non postare

Considerando sempre le ipotesi da me fatte, potrei anche dire cosi:
$x_1*x_2=(2-x_2)x_2<(2-x_2)$
essendo che $2>x_2>1$, si ha che $2-x_2<1$.

[vict85]

Ma \(x_2 > 1\) quindi \(2-x_2 < (2-x_2)x_2\).

[galles90]

vic85, capiscimi,devo imparare, abbi pazienza, provo per l'ultima volta, almeno non avrò più dubbi:
per semplicità prendo due numeri reali $a,b$ maggiori di zero, supposto che $a<1, b>1$, dalla relazione $a+b=2$
$b=2-a to b^2=(2-a)^2=4+a^2-4a to a^2=b^2+4a-4,$
$ab=a(2-a)=2a-a^2=2a-(b^2+4a-4)=2a-b^2-4a+4=4-2a-b^2<4-2-b^2=2-b^2<1$

Come va cosi ?

[vict85]

Capisco, infatti ti sto correggendo.
Siccome \(a<1\), \( -2a > -2\). Per esempio, \(-2 \cdot 0.5 = -1 > -2\). Pertanto \(4 -2a - b^2 > 4-2-b^2\). Infatti, nel caso di \(a = 0.5\) si ha \(4-2a-b^2 = 3-b^2 > 2-b^2 = 4-2-b^2\).

Devo dire che, probabilmente distratto dalla mia soluzione precedente, in questo momento non mi viene alcuna soluzione semplice che parta dalla tua impostazione. Si può ovviamente risolvere analiticamente osservando che \(\frac{d(2-a)a}{da} = 2(1-a) > 0\), che il valore in \(a=0\) è \(0\) e che \((2-a)a = 1\) ha come unica soluzione \(a = 1\) ovvero il caso escluso dalle ipotesi.

[vict85]

Ho trovato come farlo a partire dalla tua formula. Ti dò un suggerimento. Chiedersi se \(A<1\) equivale a chiedersi se \(1-A>0\).

[galles90]

Ciao vict85, grazie per la risposta, sei gentilissimo, comunque ho fatto vari tentativi prendendo spunto da questo $1-a>0$, ma alla fine mi ritrovo qualcosa che non va, comunque riporto i passaggi per correttezza, quindi:

i valore sono sempre li stessi, quindi si ha che $ab<1 $, se e soltanto se $ab-1<0$,
$ab-1=a(2-a)-1=2a-a^2-1<2-a^2-1=1-a^2<(1+a)<2$

P.s. si potrebbe risolvere usando la seguente relazione $sqrt(ab) le (a+b)/2$, con $a,b in mathbb{R}, a,b ge 0$ ?

[vict85]

\(1-2a+a^2\) è un prodotto notevole...

[galles90]

quindi dovrei dire,
$ ab-1=a(2-a)-1=2a-a^2-1=-(a-1)^2<0$

dovrebbe trovarsi, essendo che $a^2-2a+1>0, forall a in mathbb{R}$, quindi $-(a-1)^2<0 forall a in mathbb{R}$, se si trova, sono felice