Esercizio su serie.

[galles90]

Buonasera,

ho la seguente serie

$sum_(n=1)^(infty)1/nsin(1/(n+1))$

determinare il carettere.

Risulta che $a_n>0$ per ogni $n>1$, vista la forma applico il criterio del rapporto, quindi considero il termine:

$a_(n+1)=1/(n+1)sin(1/(n+2))$

allora
$a_(n+1)/a_n=(1/(n+1)sin(1/(n+2)))/(1/nsin(1/(n+1)))=((1/(n+1))/(1/n))*((sin(1/(n+2)))/((1/(n+2))))*(((1/(n+1)))/(sin(1/(n+1))))*((1/(n+2))/(1/(n+1)))~((1/(n+1))/(1/n))*((1/(n+2))/(1/(n+1)))$
per $n to + infty$,
inoltre $((1/(n+1))/(1/n))*((1/(n+2))/(1/(n+1)))=1$ per $n to + infty.$

Per il criterio del rapporto, non possiamo dire nulla sul carattere della serie, invece, il risultato riportato sul libro è che la serie è convergente, dove ho sbagliato ?

Ciao

[pilloeffe]

Ciao galles90,

Mah, io avrei fatto semplicemente così:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n sin(1/(n+1)) < \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n \cdot 1/(n+1) = \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(n(n+1)) = 1 $

dato che l'ultima scritta è la ben nota serie di Mengoli.

[galles90]

Ciao pilloeffe, grazie per la risposta , ma il metodo che ho usato non va bene ? perchè non mi trovo ?

[pilloeffe]

"galles90":Ciao pilloeffe, grazie per la risposta

Prego!

"galles90":ma il metodo che ho usato non va bene ? perchè non mi trovo ?

Beh, può capitare che il criterio del rapporto o quello della radice non consentano di determinare il carattere di una serie: non c'è da farne un dramma, semplicemente si prova con qualcos'altro...

[galles90]

Ok, ma questo vale solo nel caso in cui, un certo criterio "fallisce", per fallisce intendo che, non si può dire nulla sul carattere della serie, secondo il criterio applicato, giusto ?

[pilloeffe]

Giusto, infatti è proprio il tuo caso dato che hai trovato

$ \lim_{n \to +\infty} a_(n+1)/a_n = 1 $

[galles90]

Perfetto, grazie pilloeffe