Analisi matematica di base

Abbiamo il seguente sistema di equazioni differenziali: $$ \begin{cases} \frac{dx}{dt}=-x+xy\\ \frac{dy}{dt}=-2y-x^2\\ \end{cases} $$ Dobbiamo mostrare che le soluzioni massimali sono definite su tutto $\mathbb{R}$ e che $$\lim_{t\rightarrow+\infty}(x(t),y(t))=(0,0).$$ Inoltre se $(x(0),y(0))\ne(0,0)$ si ha $(x(t),y(t))\ne(0,0)$ per ogni $t\in\mathbb{R}$. Mi potete spiegare come si deve ragionare per risolvere un problema del genere, ...

Dimostra che il sistema \[ \left\{\begin{matrix} x+\sin(xy)=\epsilon\\ \cos(xy) + y = 1 + \epsilon \end{matrix}\right. \] ammette un unica soluzione in un intorno di \( (0,0) \) per \( \epsilon \) sufficientemente piccolo. Allora io ho fatto così Definisco \( f(x,y) : =\begin{pmatrix} x+\sin(xy)\\ \cos(xy) + y \end{pmatrix} \) e notiamo che \( f \in C^1 \), e valutata in \( (0,0) \) abbiamo \( f(0,0)=(0,1) \) e che \( Df(x,y) =\begin{pmatrix} 1+y \cos(xy) & x \cos(xy) \\ -y \sin(xy) & - ...

Ragazzi, ieri ho fatto l'esame di programmazione (che in sostanza non era altro che la traduzione in linguaggio Matlab di calcoli ed esercizi del tutto tipici di analisi 1 e 2). Il programma si suddivide in due parti, una parte di matematica "pura" e l'altra di linguaggio di programmazione, e per la parte di matematica il programma è il seguente: 1. Elementi di Algebra Lineare: spazi metrici e distanza Euclidea, spazi vettoriali, sottospazi, sistemi di generatori e basi, funzioni lineari, ...

Dimostra che l'equazione \[ x-y + e^{-xy} + \int_{y}^{x^2 +y^2} e^{yt^2}dt =0 \] Definisce in un intorno di \( x = 0 \) una funzione implicita \( y = \phi(x) \) tale che \( \phi (0) = 1 \) Calcolare \( \phi '(0) \) e \( \phi''(0) \) e stabilire la natura del punto \( x = 0 \). La soluzione dice Poniamo $ F(x,y) = x-y + e^{-xy} + \int_{y}^{x^2 +y^2} e^{yt^2}dt =0 $, abbiamo che \( F(0,1) = 0 \) e \[ \frac{\partial F}{\partial y} (x,y) = -1 -xe^{-xy} + 2ye^{y(x^2+y^2)^2}-e^{y^3} + \int_{y}^{x^2+y^2 } t^2 e^{yt^2} dt \] E \( ...

Partendo dal lavoro indipendente dal percorso riesco a seguire i passaggi che conducono allo scrivere il campo come opposto del gradiente di una funzione scalare. Ho capito quindi come passare dalla relazione integrale a quella locale. Potreste mostrarmi il percorso inverso? Se un campo è esprimibile come opposto del gradiente di una funzione scalare come si arriva a concludere che il lavoro è indipendente dal percorso? Grazie

Ciao a tutti, Qualcuno saprebbe spiegarmi la differenza, nelle equazioni differenziali tra problema con condizioni iniziali e problema con condizioni al bordo? Io so che il problema con condizioni iniziali è anche detto problema di Cauchy, e che sotto opportune ipotesi tale problema ammetterà un'unica soluzione. -Cosa si intende per problema al bordo? - Qualcuno saprebbe mostrarmi la differenza tra i due tipi di problemi? Meno importante: -Come mai non è possibile dire nulla sulla ...

Qual è il modo più veloce di risolvere un'equazione di questo tipo? $ |z-2|^2-2z-i=0 $ Di solito le vedo svolte sostituendo z=x+iy. Poichè usando questo metodo ottengo un'equazione di quarto grado nel sistema, volevo chiedervi se esiste una via alternativa.

Buonasera, La situazione è questa, domani ho l'esame e non capico la risoluzione di un'equazione differenziale scritta dal prof (e che sembra essere importante): $x''(t) + a_1(t)x'(t) + a_0(t)x(t) = b(t)$ $ { ( x'(t)=y(t) ),( y'(t)= -a_1(t)y(t)-a_0(t)x(t) + b(t) ):} $ $\xi(t) = (x(t) ; y(t))^t$ $\xi'(t) = (x'(t) ; y'(t))$ $\xi'(t)= $ $ ( ( 0 , 1 ),( -a_0 , -a_1 ) ) $ $ ( ( x ),( y ) ) $ $+$ $ {: ( 0 ),( b(t) ) :} $ Vi giuro che è la prima volta che non capisco assolutamente niente di ciò che viene fatto. Qualcuno potrebbe spiegarmi, tradurre? Ve ne sarei veramente ...

Sia $ f_n (x) := \{ (0, text(, se ) 0 <= x < 1/(n+1)), ( sin^2(pi/x), text(, se ) 1/(n+1) <= x < 1/n) , ( 0, text(, se ) 1/n <= x <= 1) :}$ studiare convergenza in $[0,1]$, convergenza uniforme in $[0,1]$, convergenza uniforme in $[1/6,1]$. Io l'avevo svolto dicendo che in x=0 converge puntualmente a 0, altrove invece converge a $sin^2(pi/x)$ , così non essendo convinua la funzione a cui converge puntualmente in $[0,1]$ non c'è convergenza uniforme, mentre c'è in $[1/6,1]$ ma non lo so provare. P.S. scusate ma non sono riuscita a scrivere il sistema, spero ...

Buongiorno, ho il seguente esercizio Sia $a_0>0$ e $a_(n+1)=a_n/(2+a_n)$, mostrare che la serie $sum_n^(infty) a_n$ è convergente Ho la risoluzione dell'esercizio, dove applica il criterio del rapporto, vorrei provare in un altra maniera, ossia: ricordo che una serie si dirà convergente, se la successione delle somme parziali $S_n$ risulterà tale. Per cui considerando la successione delle somme parziali, la quale viene definita nel seguente modo $S_0=a_0 \ qquad S_(n+1)=S_n+a_(n+1)$ inoltre, ...

Ho l'esercizio con il seguente testo: dato $K={(x1,x2,x3,x4) : x4>= (x1^2 + x2^2 + x3^2)^4, 0<=x4<=1}$ mi chiede di calcolare la coordinata x4 del baricentro. Ho trovato già il volume del solido e risulta $32/33pi$. Penso debba andare fatto con le coordinate polari ma sbaglio a definire il tutto correttamente. Grazie mille già da ora.

Ciao a tutti, Volevo chiedere se qualcuno è in grado di fornire delucidazioni in merito alla definizione di insieme semplicemente connesso con uso della nozione di omotopia. Io so che un insieme è semplicemente connesso se presa una qualsiasi curva chiusa all'interno del mio insieme, essa non è altro che la frontiera di un sottoinsieme del mio insieme. Tuttavia, mettiamo caso che io prenda un insieme $A$ semplicemente connesso e fatto in questo modo: privo di buchi ma ...

Salve, stavo (ri)studiando gli integrali impropri e i relativi criteri nel caso di integrali con intervalli limitati (prima specie come li definisce qualche testo trovato online, o di seconda come lo definisce il mio testo universitario... quindi evito di chiamarli per numero) Stavo leggendo per chiarire le idee su un sito che di solito mi è di aiuto nel capire vari argomenti, e ho trovato questo riguardo il criterio del confronto asintotico: Tuttavia non mi è chiara la nota ...

Buonasera, Su $A={(x,y)\in\mathbb{R}^2: x>0}$ è definita $f:A\to\mathbb{R}$ da $f(x,y)=-lnx-\frac{y^2+4xy+4}{4y}$. Determinare eventuali punti di max, min di $f_S$ ove $S$ è il segmento di estremi $(1/2,3/2)$ e $(3/2,1/2)$ Svolgimento: Ho scritto la retta passante per i due punti, che risulta essere $y=-x+2$ con $1/2\leqx\leq3/2$ e ho calcolato la derivata prima di $f(x,-x+2)$ per studiarne i punti di max/min, la derivata prima ...

Ciao! devo portare anche questa dimostrazione, molto probabilmente, per sistemi. Teorema Siano $(x_0,y_0) in RRtimesRR^n$ un punto e $f$ una funzione a valori in $RR^n$ definita e continua almeno in un intorno del punto della forma $ItimesJ=D^1(x_0,a)timesD^n(y_0,b)$ Se $f$ è lipschitziana in $overline(y)$ uniformemente rispetto a $x$ in tale intorno allora ${(y'(x)=f(x,y(x))),(y(x_0)=y_0):}$ ammette un'unica soluzione dimostrazione sia $L>0$ la costante di ...

Ho difficoltà a svolgere il seguente esercizio: Alcuni scienziati hanno studiato la variazione del numero di lepri selvatiche che vivevano inun'isola, nel passato senza predatori e successivamente con predeatori. Denotato con N(t) il numero di lepri selvatiche al tempo t, la funzione che descrive la loro crescita è rappresentata dalla seguente legge $ f(t)=(sqrt(9+t^2)-3)/(sqrt(9+t^2)+3) , t in \mathbb {R} $ Si chiede di: a) determinare il numero di lepri selvatiche nel passato $(t -> -oo ) $; b) trovare in quali intervalli di ...

Salve a tutti del forum! vi chiedo cortesemente aiuto perché non ricordo bene come ricavare la retta rispetto alla variabile X, mi spiego meglio: devo parametrizzare i lati di un parallelogramma con un lato coincidente con l'asse delle ascisse e uno ad altezza 1 percorsi in senso antiorario, potreste dirmi come potrei parametrizzare il terzo e quarto lato se assegno un numero ai lati in senso antiorario? ringrazio anticipatamente quanti vorranno rispondere.

Buonasera sono di nuovo quì Ho la seguente serie $sum_(n=2)^(infty) (1-1/n^2)^(n^a) a in RR $ nella soluzione dimostra che per il valore $a le 2$, la serie diverge, invece, per $a>2$ si ha $a_n=e^(n^aln(1-1/n^2))=e^(-n^(a-2)+o(n^(a-2)))=e^(-n^(a-2)(1+o(1))) le e^(-1/2n^(a-2)) \ qquad n to + infty $ la serie converge. Mi è chiaro tutto, tranne l'ultimo passaggio, ossia, l'ultimo passaggio è vero perchè $o(1)$, vuole indicare che la successione $ln(1-1/n^2) to 0$ per $n to + infty$, quindi, trascurabile. Grazie in anticipo per le risposte.

Buonasera, Ho un grande dubbio che proverò ad illustrarvi. Dato il seguente limite: $lim_(x->+infty)4(cos(1/x)-1)^2 - 1/x^4$ Dire qualle delle seguenti affermazioni è corretta: $a)$ La funzione non è infinitesima per $x$ che tende a $+infty$; $b)$ $f(x)= o(1/x^8)$; $c)$ $f(x)= o(1/x^6)$; $d)$ il limite non esiste. A parer mio, nessuna di queste affermazioni è corretta, in quanto: - la risposta $a)$ non è corretta perchè ...

Buongiorno, Ho una domanda per voi. Vi propongo un esercizio che non riesco a risolvere. Sia $f(x,y)= min {(x-1)(y-1) ; (x+1)(y+1)}.$ Scrivere i punti di non differenziabilità di $f$ su $RR^2$. Studiando un po' la funzione, si nota che la retta $y=-x$ è il "luogo di confine" delle due funzioni che fanno parte della funzione $min$. Dato che i punti lungo questa retta sono gli unici punti sospetti, provo a dimostrare che la funzione non è ivi differenziabile. Prendo ...