Finzione lipschitziana
dimostrare che la funzione $f(x)=e^x$ è lipschitziana in $[-1,1]$. Lo è anche in $]-oo, +oo[$?
l ho svolto così
$f'(x)=e^x$
$lim_(x->-1) f'(x)= 1/e$
$lim_(x->+1) f'(x)= e$
poichè $f'(x)$ è limitata in $[-1,1] => f(x)$ è lipschitziana in $[-1,1]$
invece per quanto riguarda l'intervallo $]-oo, +oo[$ ho dei dubbi:
$lim_(x->-oo) f'(x)= 0$
$lim_(x->+oo) f'(x)= +oo$
basta dire che poichè le derivate non sono limitate f(x) non è lipschitziana in $]-oo,+oo[$ ?
l ho svolto così
$f'(x)=e^x$
$lim_(x->-1) f'(x)= 1/e$
$lim_(x->+1) f'(x)= e$
poichè $f'(x)$ è limitata in $[-1,1] => f(x)$ è lipschitziana in $[-1,1]$
invece per quanto riguarda l'intervallo $]-oo, +oo[$ ho dei dubbi:
$lim_(x->-oo) f'(x)= 0$
$lim_(x->+oo) f'(x)= +oo$
basta dire che poichè le derivate non sono limitate f(x) non è lipschitziana in $]-oo,+oo[$ ?
Risposte
Per il secondo caso penso che sia sufficiente ricorrere alla definizione, cioè che non esiste un $Kin(-oo,+oo) : K="sup"(f'(x))$
inoltre puoi anche vederla in un altro modo, $K$ in qualsiasi intervallo $(a,b)$ per la funzione $f=e^x$ è sempre uguale a $e^b$.
inoltre puoi anche vederla in un altro modo, $K$ in qualsiasi intervallo $(a,b)$ per la funzione $f=e^x$ è sempre uguale a $e^b$.
perfetto grazie
Scusa Smon97, cosa ha a che fare l'esistenza dei limiti agli estremi di $[-1,1]$ con la limitatezza?
Abbiamo sempre fatto così. Se la funzione derivata nell'intervallo richiesto è limitata allora è lipschiziana.
Bene, ma non hai risposto alla domanda.
No, non capito
"gugo82":
cosa ha a che fare l'esistenza dei limiti agli estremi di $[-1,1]$ con la limitatezza?
@Smon97: Io ti consiglio di dare retta a Gugo, rifletti attentamente su ciò che ti ha chiesto e rispondigli con calma. Probabilmente sta emergendo una tua lacuna.
Si appunto, è una mia lacuna. l'ho sempre fatto così senza sapere il vero motivo. penso perchè essendo limitata la funzione esiste un k appartenente all'intervallo tale che k è proprio l'estremo superiore della f'(x)
Qual è il motivo corretto ? o comunque dove posso studiarlo in modo approfondito?
Qual è il motivo corretto ? o comunque dove posso studiarlo in modo approfondito?
Guarda bene, forse non hai capito la domanda.
"Smon97":
Si appunto, è una mia lacuna. l'ho sempre fatto così senza sapere il vero motivo. penso perchè essendo limitata la funzione esiste un k appartenente all'intervallo tale che k è proprio l'estremo superiore della f'(x)
Qual è il motivo corretto ? o comunque dove posso studiarlo in modo approfondito?
Per studiare l'argomento in modo approfondito ci sono i libri di testo.
Ma tornando al tuo dubbio, penso ci possano essere 3 spiegazioni:
1) Non hai capito la definizione di funzione lipschitziana, e questo è totalmente legittimo se è un argomento nuovo che stai affrontando. In questo caso, appunto ti conviene studiare la definizione e vedere qualche esempio su un qualsiasi libro di testo di livello universitario.
2) La seconda possibilità (onestamente la più grave) e non penso sia questo il caso, è che tu confonda il concetto di limitatezza di una funzione in un certo intervallo, con l'esistenza dei limiti agli estremi di questo intervallo. Per farti l'esempio più semplice che mi viene in mente, supponiamo che $f'(x)=1/x$. Per x che tende a $+-oo$ il limite è 0, quindi un valore reale finito. Questo non assicura in alcun modo che $f'$ sia limitata in tutto l'asse reale, infatti per x che tende a $0^(+-)$, la funzione tende a $+-oo$, e quindi chiaramente non è limitata, perchè in un intorno di $0$ non esiste alcun $k$ tale che $f'(x)
3) La terza spiegazione che potrei darmi è che il professore ha applicato per qualche motivo lo studio dei limiti agli estremi in un esempio specifico, e tu hai erroneamente generalizzato il concetto.
Giusto per capirci, quale è per te la definizione di "funzione limitata" in un certo insieme?
Si in tutti gli esercizi di verificare se la funzione era lipschitziana abbiamo sempre fatto in aula che se il limite di f'(x) calcolato agli estremi è finito la funzione f(x) è lipschitziana in quell'intervallo.
In generale una funzione lipschiziana è un caso particolare della funzione Holderiana.
In generale una funzione lipschiziana è un caso particolare della funzione Holderiana.
Se la tua risposta alla mia domanda è "abbiamo sempre fatto così", è tempo che ripensi il modo in cui studi.
O cominci a spiegarti (ed a spiegare) le cose ed i metodi che studi, o uscirai dall'università tale e quale a come sei entrato.
Appena decidi cosa fare, fammi un fischio.
O cominci a spiegarti (ed a spiegare) le cose ed i metodi che studi, o uscirai dall'università tale e quale a come sei entrato.
Appena decidi cosa fare, fammi un fischio.
proprio perchè voglio capire le cose bene ho scritto qua.
nel libro di testo consigliato dal professore questo argomento è spiegato superficialmente e su internet non ho trovato molto che mi sia utile. Non mi interessa studiare un metodo a memoria perchè non mi servirebbe a niente, ma voglio capire il perchè delle cose.
nel libro di testo consigliato dal professore questo argomento è spiegato superficialmente e su internet non ho trovato molto che mi sia utile. Non mi interessa studiare un metodo a memoria perchè non mi servirebbe a niente, ma voglio capire il perchè delle cose.
"gugo82":[/quote]
[quote="gugo82"]cosa ha a che fare l'esistenza dei limiti agli estremi di $[-1,1]$ con la limitatezza?
Perché a lipschitzianità corrisponde al fatto che il rapporto incrementale è limitato in valore assoluto da un fissato valore finito, k
non ho trovato molto su internet
Questa (da batmath.it) è una ottima dispensa, ma dai anche retta a Gugo.
"Smon97":
Perché a lipschitzianità corrisponde al fatto che il rapporto incrementale è limitato in valore assoluto da un fissato valore finito, k
E tu come ritieni che ciò c'entri con la domanda che ti ho fatto?
"Smon97":
... se il limite di f'(x) calcolato agli estremi è finito la funzione f(x) è lipschitziana in quell'intervallo.
...
Assolutamente no, questa non è la definizione di "lipschitzianità" di una funzione, e non è nemmeno un metodo "pratico" per verificarlo.
Penso che dovresti ragionare con serenità sulla domanda che ti ha fatto gugo82.
Se ci rifletti un attimo, l'unica cosa che verifichi in questo modo è che agli estremi dell'intervallo considerato, $f(x)$ non ha un flesso a tangente verticale. Ma non verifichi in alcun modo quello che accade all'interno dell'intervallo.
$f:(a,b)subeRRrarrRR$
$f'(a) in RR rArr f(x) " non ha un flesso verticale in " x=a$
$f'(b) in RR rArr f(x) " non ha un flesso verticale in " x=b$
sia $x_0 in (a,b)$ tale che $lim_(x->x_0)f'(x) = +-oo$
Il calcolo dei limiti agli estremi, non è una condizione sufficiente o necessaria (e aggiungerei neanche sensata) per garantire che $f'(x)$ non diverga a $+-oo$ in un qualsiasi altro punto interno all'intervallo diverso da $a$ o $b$. In questo modo stai cercando di verificare una proprietà globale su tutto l'insieme, studiandone il comportamento locale in due punti qualsiasi.
Lasciamo perdere Holder e funzioni lipchitziane al momento. Limitiamoci al concetto base di funzione limitata in un certo insieme. Ti ripeto la domanda di gugo82, in che modo, calcolare il limite agli estremi ti garantisce la limitatezza di $d/(dx)f(x)$ in tutto l'intervallo?
@Flamber: Mi sa che hai le idee confuse pure tu…
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