Analisi matematica di base

Buongiorno, avrei bisogno di una mano a risolvere questo esercizio: Indicare se le seguenti serie convergono (semplicemente o assolutamente), divergono oppure oscillano. 1. $sum_(n = 0)^(+oo) (n/(n+1))^(n^2)$ 2. $sum_(n = 0)^(+oo) 1/(ncos^2n)$ 3. $sum_(n = 0)^(+oo) (nlog(1+1/n)-cos(1/sqrt(n)))$ Per la prima e seconda serie dovrei esserci. 1. Il termine generale $a_n$ è infinitesimo, per cui può convergere la serie. Osservo che la serie è asintotica alla serie $sum_(n = 0)^(+oo) (1-1/(n+1))^(n^2)$, raccogliendo un termine n al denominare ...

Sia \( f : E \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m \) e \( g: F \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^p \) con \( E,F \) aperti e non vuoti, con \( \operatorname{Im}(f) \subset F \), \( x_0 \in E^{\circ} \) e \( y_0 = f(x_0) \in F^{circ} \). Se \( f \) differenziabile in \( x_0 \) e \( g \) differenziabile in \( y_0 \) allora \( \varphi = g \circ f \) differenziabile in \( x_0 \) Dimostrazione: ... Dopo diversi passaggi sono arrivato a dimostrare che \[ \varphi(x) = g(f(x_0)) + ...

Buonasera,provando e riprovando lo sviluppo di mclaurin della tangente con la formula per esteso,mi viene fuori dopo il termine x,un -x^3/6,quando invece sappiamo che la formula canonica prevede il + davanti x^3.Qualcuno sa spiegarmi perchè?Forse ho tralasciato qualche regola sulla tangente che non conosco?

Buona sera a tutti, ho un dubbio con il seguente esercizio di un testo d'esame, che mi chiede di calcolare il seguente integrale doppio in coordinate polari: $ int int_(D) y e^{frac{x}{sqrt{x^2+y^2}}} dx dy $ con $ D $ delimitato da $ x^2+y^2-2x=0 $, $ y = 0 $ e $ x^2+y^2=1 $ contenuto nel IV quadrante. Quindi passando a coordinate polari $ { ( x = rho cos vartheta ),( y = rho sin vartheta ):} $ con polo nell'origine, quindi mi scrivo il nuovo dominio $ Gamma { ( 0 <= rho <= 2cosvartheta ),( 3/2pi <= vartheta <= 2pi ):} $ Ed ottengo $ int int_(Gamma) rhosinvartheta e^{frac{rhocosvartheta}{sqrt{rho^2cos^2vartheta + rho^2sin^2vartheta}}} rhodrhodvartheta $ e quindi ...

Salve! chiedo a voi del forum un chiarimento sulla differenziabilità di una funzione in due variabili ed in particolare sulla verifica. Mi spiego meglio: devo verificare la differenziabilità di una funzione su un punto dato \( (x_0, y_0) \) e volevo farlo evitando la definizione e usando il teorema del differenziale che afferma che una funzione è differenziabile su un punto se le sue derivate parziali sono continue in quel punto. Ma una volta calcolate le due derivate mi accorgo che non ...

Salve, stavo vedendo lo svolgimento di questo esercizio : Dato il campo vettoriale \(\displaystyle F(x,y)=(\frac {2x} {x^2+4y^2}, \frac {1} {2\sqrt {y+8}}+\frac {8y} {x^2+4y^2}) \) a) determinare il dominio massimale \(\displaystyle DcR^2 \) in cui F è ben definito di classe \(\displaystyle C^1 \) b) verificare che F è irrotazionale in D c) stabilire a priori se F è conservativo in D d) se la risposta (c) è positiva, calcolare un potenziale per F Ora il primo ed il secondo punto li ho fatti e ...

Ciao a tutti avrei una domanda relativa a questo esercizio che mi viene assegnato sia E il solido $E = \{ x,y \geq 0; x+y\leq 2; 0\leq 2z\leq 4-x^2-y^2\}$ trovarne il volume Il solido è un paraboloide rovesciato con vertice in (0,0,2) che ha intersezione con il piano x+y -2 = 0. ho pensato dunque di integrare per fili rispetto a z considerando che gli estremi di integrazione sono noti ottengo dunque un integrale rispetto a un dominio sul piano che però non riesco assolutamente a definire $\int\int_{D} (2- x^2/2 -y^2/2)dx dy$ se non avessi il ...

Ciao a tutti. Vorrei gentilmente sapere perché queste due scritture si equivalgono. Appartengono ad una parte del programma di fisica tecnica per ingegneria meccanica, ma penso che il problema sia matematico. Potreste illustrarmi i passaggi con cui si arriva da una all'altra? Grazie. $(del^2 T)/(del r^2) + 1/r (del T)/(del r) = 0$ che equivale a $("d")/("d" r)[ r ("d" T)/("d" r)] =0$

1) Siano \( f \in C^1(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}) \) e \( v \in \mathbb{R} \) tale che \( \begin{Vmatrix} v \end{Vmatrix} = 1 \) per \( x \in \mathbb{R}^n \) notiamo \( g_x := t \to f(x+tv) \) Dimostra che per ogni \( x \in \mathbb{R}^n \) \( \begin{vmatrix} g'_x(0) \end{vmatrix} \leq \begin{Vmatrix} \nabla f(x) \end{Vmatrix} \) Dare un criterio di egualità 2) Sia \( \gamma \in C^1([0,1],\mathbb{R}^n) \) una curva paramtetrizzata, tale che \( \forall s \in [0,1] \) risulta \( \begin{Vmatrix} ...

Buonasera a tutti,scusate ma nel tentativo di descrivere qualitativamente un insieme per un esercizio di analisi 1,mi sono bloccato in questa disequazione,della quale non riesco a trovare la soluzione.Si tratta di : (x^2) -2ax

Salve avrei un problema in questo esercizio : Dato il campo vettoriale \(\displaystyle F=(e^{yx^3+x}(3x^2 y+1), e^{yx^3+x}(x^3)) \) dire se è conservativo. Se si dove ? Ora ho trovato che il campo è conservativo incrociando le derivate, ossia : \(\displaystyle \frac {dF_1} {dy}= \frac {dF_2} {dx} \) Ora il problema è che non so stabilire dove è conservativo.

Salve! ho una perplessità riguardo proprio l'insieme di continuità di una funzione in due variabili; mi è chiaro sia come detrminare un limite, come verificarlo ecc, ma non capisco io come dimostrare che una funzione è conitnua in tutti i punti di un insieme. Grazie in anticipo!

Buon pomeriggio . devo svolgere questa tipologia di esercizio, ma non so proprio come muovermi, in quanto a lezione abbiamo visto i numeri complessi in maniera molta banale (Formula esponenziale, forma algebrica etc) Dimostrare che $ { ( \bar{z_1}+i\barz_2=0 ),( Theta (\bar{z_1}\bar{z_2} =pi ):}rArr Theta (\bar{z_1})=3/4pi $ ho provato a ragionare con coniugati etc ma non ho risolto nulla spero vivamente nel vostro aiuto . grazie mille

Ciao a tutti, sto provando a svolgere un esercizio che mi chiede: Sia Γ un arco regolare che unisce i punti A = (0, −7/4) e B = (π/6, 3), orientato da A a B. Il lavoro lungo Γ del campo F(x, y) = ( e^x + 3y cos(3x),sin(3x) ) vale: Io ho provato con il teorema di Green ma la differenza delle due derivate è pari a 0. Grazie.

Buongiorno, ho il seguente esercizio: Calcolare \(\displaystyle \iint_D e^{-x^2-y^2} dxdy \) con \(\displaystyle D \) la regione di piano compresa tra l'asse \(\displaystyle x \) e la funzione \(\displaystyle y = \sqrt{R^2 - x^2} \) . Soluzione: Si tratta di una semicirconfernza (credo). Passo alle coordinate polari. (\(\displaystyle -\rho \) è il determinante della Jacobiana della trasformazione ) \(\displaystyle \int_0^\pi d\theta \int_0^2 -\rho e^{-\rho^2}d\rho \) cambio ...

Salve, ho poca dimestichezza ancora con le serie (di potenze in questo caso), e mi farebbe comodo una mano in qualche passaggio. Ho da calcolare convergenza puntuale e totale e calcolare la somma della serie: $ sum_(k = 1)^(+oo) k((x-1)/(2x+4))^(k-1)$ Ho proceduto ponendo $(x-1)/(2x+4)=y$, quindi studio equivalentemente la serie $ sum_(k = 1)^(+oo) k(y)^(k-1)$ Questa nuova serie ha centro in $y_0=0$. Applico il criterio del rapporto ed ho che il limite vale $1$, e $R=1/1=1$ Posso dire in via ...

Faccio sempre confusione su questa cosa, vorrei chiarirmi, allora leggendo un esercizio e le sue soluzioni mi dice che una certa funzione è differenziabile, ma non è \( C^1 \) perché ad esempio la sua derivata parziale su \( y \) non è continua. Allora una funzione \(f \) differenziabile in un punto \( x_0 \) per definizione è una funzione approssimabile da una funzione lineare con un resto infinitesimo in un intorno \( x_0 \). Se differenziabile su tutto un insieme \( E \) mi garantisce che ...

Salve vorrei sapere dove sbaglio nello svolgere la seguente equazione differenziale : \(\displaystyle y'''+16y'=t^2 \) Mi scrivo l'omogenea e la risolvo : \(\displaystyle r^3+16r=0 \) Le soluzioni dell'omogenea sono : \(\displaystyle r=0 , r=\pm 4i \) Da cui l'insieme delle soluzioni : \(\displaystyle S=\{ c_{1} + c_{2} cos(4t)+c_{3} sen(4t): c_{1},c_{2},c_{3} \in R \} \) Ora passo alla soluzione particolare che sarà del tipo : \(\displaystyle y_{p} = at^2 +bt+c \) Da cui le derivate ...

Salve, qualcuno sarebbe cosi gentile da mostrarmi il procedimento quando ho un fattoriale all'interno dell'arcontangente come in questo caso? Non ho trovato nessun esercizio del genere in tutto il web! $ sum_(n = \1)^oo (arctan(n!)+n)/(n+1)^3 $ Grazie in anticipo per eventuali risposte!

Salve, non riesco a risolvere questo esercizio : Verificare che l'equazione \(\displaystyle x+cos(x)+2ye^{y^3} -z^2+4z-5=0 \) definisce in un intorno del punto \(\displaystyle (0,0,2) \) una superficie di equazione \(\displaystyle x=f(y,z) \). Si calcoli lo sviluppo di Taylor di f fino al secondo ordine. Ora per il primo punto, dove bisogna applicare il teorema del Dini non ho nessun problema. Ho difficoltà però nello scrivere lo sviluppo di Taylor. So che ci sono due modi per farlo, uno ...