Baricentro di una sfera

[giuliia1]

Ho l'esercizio con il seguente testo: dato $K={(x1,x2,x3,x4) : x4>= (x1^2 + x2^2 + x3^2)^4, 0<=x4<=1}$ mi chiede di calcolare la coordinata x4 del baricentro. Ho trovato già il volume del solido e risulta $32/33pi$. Penso debba andare fatto con le coordinate polari ma sbaglio a definire il tutto correttamente.
Grazie mille già da ora.

[giuliia1]

Nessuna idea?

[gugo82]

Perché non inizi scrivendo le tue idee?

[giuliia1]

Guardando esercizi fatti in classe vedo che per trovare la coordinata del baricentro devo seguire una formula secondo cui la coordinata che mi interessa è data da: (integrale di x4 sul dominio del solido proiettato sul piano xy/il volume del solido che ho gia trovato). Il mio problema è che non riesco a capire di che solido si tratti, a me sembra una sfera ma mi stanno sorgendo dei dubbi. Poi il fatto di avere R4 come dimensione mi fa pensare alle coordinate ipersferiche per trovare i nuovi estremi di integrazione.
Ho un poò di confusione in testa per cui mi servirebbe qualche idea o spunto da cui partire.

[gugo82]

Per definizione, hai:
\[
x_{4, c} = \frac{1}{\int_K 1\ \text{d} x_1 \text{d} x_2 \text{d} x_3 \text{d} x_4}\ \int_K x_4\ \text{d} x_1 \text{d} x_2 \text{d} x_3 \text{d} x_4 \; ,
\]
quindi devi calcolare due integrali: quello a denominatore, che ti dà la misura di $K$, e quello a numeratore.

Per il calcolo, ti consiglio le coordinate cilindriche:
\[
\begin{cases}
x_1 = r \cos \theta\ \sin \phi \\
x_2 = r \sin \theta\ \sin \phi \\
x_3 = r \cos \phi \\
x_4 = h
\end{cases} \;.
\]