Domanda criterio integrale improprio
Salve, stavo (ri)studiando gli integrali impropri e i relativi criteri nel caso di integrali con intervalli limitati (prima specie come li definisce qualche testo trovato online, o di seconda come lo definisce il mio testo universitario... quindi evito di chiamarli per numero)
Stavo leggendo per chiarire le idee su un sito che di solito mi è di aiuto nel capire vari argomenti, e ho trovato questo riguardo il criterio del confronto asintotico:
Tuttavia non mi è chiara la nota sottostante, cosa intende dire? Da come esso espone i casi A e C sembra che anche essi siano condizioni necessarie e sufficienti al pari della B.
Grazie.
Stavo leggendo per chiarire le idee su un sito che di solito mi è di aiuto nel capire vari argomenti, e ho trovato questo riguardo il criterio del confronto asintotico:
Tuttavia non mi è chiara la nota sottostante, cosa intende dire? Da come esso espone i casi A e C sembra che anche essi siano condizioni necessarie e sufficienti al pari della B.
Grazie.
Risposte
No, per come sono scritti, A e C sono dei "se P allora Q"; B invece è "P se e solo se Q": per vedere che le implicazioni inverse non funzionano, prendi \(g = 1/x\) ed \(f \equiv 0\) nel primo caso; similmente fai nel terzo.
Ciao Jaejer90,
ci provo, essendo che a breve devo sostenere l'esame di Analisi 1, diciamo, che faccio un test
.
Comunque quello che ti dico non prenderlo per buono, aspetta qualche utente più bravo, che ti possa conformare quello che ti dico, qualora fosse corretto.
Comunque, il punto $B$ si distingue dai casi $A$ e $C$ in quanto vengono esclusi i casi in cui $l=0$ e $l=+infty$, rispettivamente, cosi facendo abbiamo la certezza che $f$ abbia lo stesso ordine di grandezza di $g$, quindi, in particolare è possibile assocciare un equivalenza asintotica a tale relazione.
Sia
Essendo che la relazione $~$ è una relazione: transitiva, riflessiva, e simmetrica, quindi è una relazione di equivalenza , quindi i due integrali si comportano nello stesso modo, per cui abbiamo la condizione necessaria e sufficiente.
Ricorda quello che ho detto sopra, ciao.
ci provo, essendo che a breve devo sostenere l'esame di Analisi 1, diciamo, che faccio un test
.Comunque quello che ti dico non prenderlo per buono, aspetta qualche utente più bravo, che ti possa conformare quello che ti dico, qualora fosse corretto.
Comunque, il punto $B$ si distingue dai casi $A$ e $C$ in quanto vengono esclusi i casi in cui $l=0$ e $l=+infty$, rispettivamente, cosi facendo abbiamo la certezza che $f$ abbia lo stesso ordine di grandezza di $g$, quindi, in particolare è possibile assocciare un equivalenza asintotica a tale relazione.
Sia
$lim_(x to x_0) f/g=l \ qquad \mbox{con} \ qquad l ne 0, \ qquad x_0 in RR', $
quindi diremo che $f(x)$ è dello stesso ordine di grandezza di $g(x)$ per $x to x_0$, se e solo se $f(x)$ è asintoticamente equivalente alla funzione $lg(x)$ per $x to x_0.$Essendo che la relazione $~$ è una relazione: transitiva, riflessiva, e simmetrica, quindi è una relazione di equivalenza , quindi i due integrali si comportano nello stesso modo, per cui abbiamo la condizione necessaria e sufficiente.
Ricorda quello che ho detto sopra, ciao.
Quindi, da quel che ho capito, nel caso B abbiamo una relazione di equivalenza asintotica, quindi i casi valgono da sinistra a destra e anche da destra a sinistra. Al contrario in A e C vale solo la relazione da destra ($g(x)$) a sinistra ($f(x)$), per cui nel caso B possiamo affermare a sua volta che se l'integrale di $f(x)$ converge, convergerà anche l'integrale di $g(x)$, e anche al contrario, se $g(x)$ converge, anche $f(x)$ convergerà, giusto?
Cosa intendi con $Re^{\prime}$? $x$ può solo tendere a $+oo$
Semplicemente non trovo perchè definirla "relazione necessaria e sufficiente", e non definire anche le altre due in questo modo.
Cosa intendi con $Re^{\prime}$? $x$ può solo tendere a $+oo$
Semplicemente non trovo perchè definirla "relazione necessaria e sufficiente", e non definire anche le altre due in questo modo.
Ciao Jaeger90,
Si esatto
No, voglio dire che $x_0$ può essere sia finito e che infinito, per questo $RR'=RR cup (-infty, +infty)$
Perchè nei casi $A$ e $C$ non si valuta $l=0$ e $l=+infty$, quindi $l in RR$, cioè, assume solo valori finiti, pertanto le due funzioni hanno lo stesso ordine di grandezza.
"Jaeger90":
Quindi, da quel che ho capito, nel caso B abbiamo una relazione di equivalenza asintotica, quindi i casi valgono da sinistra a destra e anche da destra a sinistra. Al contrario in A e C vale solo la relazione da destra ($ g(x) $) a sinistra ($ f(x) $), per cui nel caso B possiamo affermare a sua volta che se l'integrale di $ f(x) $ converge, convergerà anche l'integrale di $ g(x) $, e anche al contrario, se $ g(x) $ converge, anche $ f(x) $ convergerà, giusto?
Si esatto
"Jaeger90":
Cosa intendi con $ Re^{\prime} $? $ x $ può solo tendere a $ +oo $ ?
No, voglio dire che $x_0$ può essere sia finito e che infinito, per questo $RR'=RR cup (-infty, +infty)$
"Jaeger90":
Semplicemente non trovo perchè definirla "relazione necessaria e sufficiente", e non definire anche le altre due in questo modo.
Perchè nei casi $A$ e $C$ non si valuta $l=0$ e $l=+infty$, quindi $l in RR$, cioè, assume solo valori finiti, pertanto le due funzioni hanno lo stesso ordine di grandezza.
"galles90":
Perchè nei casi $A$ e $C$ non si valuta $l=0$ e $l=+infty$, quindi $l in RR$, cioè, assume solo valori finiti, pertanto le due funzioni hanno lo stesso ordine di grandezza.
Okay quello mi è chiaro, però io con la mancanza di "condizione necessaria e sufficiente" potevo intendere che anche se i casi A e C non son rispettati, allora non è detto che si abbia per forza la convergenza in quanto non è sufficiente. Era questo che mi faceva venire dei dubbi, perchè per poterle utilizzare allora devono essere per forza condizioni sufficienti di convergenza.
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