EDO non lineare del 1° ordine con problema di Cauchy
Buongiorno a tutti,
dato che è il mio primo post colgo l'occasione per ringraziarvi di tutto quello che fate qui: vi seguo da quando ho iniziato ingegneria e grazie anche ai vostri consigli ho superato geometria ed algebra lineare. Vengo al dunque: sto preparando analisi 2 e mi sono imbattuto in questo esercizio in un tema d'esame:
Sia data l'eq. differenziale con problema di Cauchy:
\( \begin{cases} y'= |\sqrt[3]{y}|+x \\ y(x_{0} )=a \end{cases} \)
1- in base a teoremi conosciuti, determinare per quali valori di "\( a \)" sono soddisfatte le condizioni per l’esistenza e unicità locale e globale (l'intervallo per quest'ultima non lo definisce).
2- calcolare la soluzione generale.
3- Tracciare il grafico della sol. generale trovata.
Per il primo punto ho considerato \(y'= \sqrt[6]{y^2}+x\) così da poter eliminare il modulo. Quindi \( f: A \rightarrow \Bbb R\) con \( A\subseteq \Bbb R\times\Bbb R \). È di classe \( C^\infty \) perciò vale il teorema di \( \exists ! \) locale in un intorno \( I \) di \( x_{0} \) questo \( \forall\ x_{0} \in \Bbb R \). Quindi è valido \( \forall\ a \in \Bbb R \).
Per quanto riguarda l' \( \exists ! \) globale osservo che \( \frac{\partial f}{\partial y} \) è tutto fuorchè limitata, quindi \( \nexists \) sol. globale.
Per il calcolo della soluzione generale non so come procedere, preso dalla disperazione ho provato anche con Wolfram-alpha, ma mi rimanda alle equazioni di Abel, Chini e altri a seconda di come gli gira. Spero che qualche buonanima più esperta mi possa dare una mano, ci ho speso tutta la giornata
Ringrazio in anticipo
dato che è il mio primo post colgo l'occasione per ringraziarvi di tutto quello che fate qui: vi seguo da quando ho iniziato ingegneria e grazie anche ai vostri consigli ho superato geometria ed algebra lineare. Vengo al dunque: sto preparando analisi 2 e mi sono imbattuto in questo esercizio in un tema d'esame:
Sia data l'eq. differenziale con problema di Cauchy:
\( \begin{cases} y'= |\sqrt[3]{y}|+x \\ y(x_{0} )=a \end{cases} \)
1- in base a teoremi conosciuti, determinare per quali valori di "\( a \)" sono soddisfatte le condizioni per l’esistenza e unicità locale e globale (l'intervallo per quest'ultima non lo definisce).
2- calcolare la soluzione generale.
3- Tracciare il grafico della sol. generale trovata.
Per il primo punto ho considerato \(y'= \sqrt[6]{y^2}+x\) così da poter eliminare il modulo. Quindi \( f: A \rightarrow \Bbb R\) con \( A\subseteq \Bbb R\times\Bbb R \). È di classe \( C^\infty \) perciò vale il teorema di \( \exists ! \) locale in un intorno \( I \) di \( x_{0} \) questo \( \forall\ x_{0} \in \Bbb R \). Quindi è valido \( \forall\ a \in \Bbb R \).
Per quanto riguarda l' \( \exists ! \) globale osservo che \( \frac{\partial f}{\partial y} \) è tutto fuorchè limitata, quindi \( \nexists \) sol. globale.
Per il calcolo della soluzione generale non so come procedere, preso dalla disperazione ho provato anche con Wolfram-alpha, ma mi rimanda alle equazioni di Abel, Chini e altri a seconda di come gli gira. Spero che qualche buonanima più esperta mi possa dare una mano, ci ho speso tutta la giornata
Ringrazio in anticipo
Risposte
Cosa succede per $a=0$?
Ciao gugo! grazie della risposta. Allora con \( a=0 \) si ha \( y'= x \). Trovare la sol. generale di questa è triviale, sarebbe una parabola. Quindi vuol dire che la risposta alla prima domanda è che \( \exists! \) sol locale con a=0? Scusami se dico fesserie, ma questa parte del programma mi risulta molto ostica. Il ragionamento che ho fatto per l' \( \exists! \) quadra? Grazie mille ancora
No, su tutta la linea.
Come fai a trasformare un’informazione puntuale come la condizione iniziale $y(x_0) = 0$ in una condizione globale $y(x) = 0$ soddisfatta in tutti i punti della soluzione (perché inglobata nella EDO)?
Rileggiti l’enunciato del teorema di esistenza ed unicità locali.
P.S.: In Matematica, meglio usare “banale” piuttosto di “triviale” (che in italiano ha un altro significato rispetto all’equivalente inglese trivial).
Come fai a trasformare un’informazione puntuale come la condizione iniziale $y(x_0) = 0$ in una condizione globale $y(x) = 0$ soddisfatta in tutti i punti della soluzione (perché inglobata nella EDO)?
Rileggiti l’enunciato del teorema di esistenza ed unicità locali.
P.S.: In Matematica, meglio usare “banale” piuttosto di “triviale” (che in italiano ha un altro significato rispetto all’equivalente inglese trivial).
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