Convergenza puntuale e uniforme serie di funzioni

[_originallife_1]

Sia $ f_n (x) := \{ (0, text(, se ) 0 <= x < 1/(n+1)), ( sin^2(pi/x), text(, se ) 1/(n+1) <= x < 1/n) , ( 0, text(, se ) 1/n <= x <= 1) :}$
studiare convergenza in $[0,1]$, convergenza uniforme in $[0,1]$, convergenza uniforme in $[1/6,1]$.


Io l'avevo svolto dicendo che in x=0 converge puntualmente a 0, altrove invece converge a $sin^2(pi/x)$ , così non essendo convinua la funzione a cui converge puntualmente in $[0,1]$ non c'è convergenza uniforme, mentre c'è in $[1/6,1]$ ma non lo so provare.

P.S. scusate ma non sono riuscita a scrivere il sistema, spero si capisca.

[gugo82]

La successione converge ovunque a $f(x):=0$ in $[0,1]$ (perché?) ma la convergenza non è uniforme (perché?).
In $[1/6,1]$ invece c’è anche convergenza uniforme (perché?).

[_originallife_1]

Poiché $1/n → 0$ per $n → +∞$, si ha che definitivamente $1/n ≤ x$, cioè esiste N ∈ N tale che per ogni n ≥ N si ha $1/n ≤ x$. Ne segue che per ogni n ≥ N si ha fn(x) = 0, e quindi converge puntualmente a 0. Così ho svolto la convergenza puntuale, ora graficamente ho capito che non c'è convergenza uniforme in $[0,1]$ ma c'è il $[1/6,0]$ ma non riesco a impostarlo ne ad indicarne il motivo.