Dimostrazione di una serie converge.

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galles90
galles90
13 giu 2019, 10:44
Buongiorno,

ho il seguente esercizio
Sia $a_0>0$ e $a_(n+1)=a_n/(2+a_n)$, mostrare che la serie $sum_n^(infty) a_n$ è convergente


Ho la risoluzione dell'esercizio, dove applica il criterio del rapporto, vorrei provare in un altra maniera, ossia:
ricordo che una serie si dirà convergente, se la successione delle somme parziali $S_n$ risulterà tale.
Per cui considerando la successione delle somme parziali, la quale viene definita nel seguente modo

$S_0=a_0 \ qquad S_(n+1)=S_n+a_(n+1)$

inoltre, dal teorema sulle successioni monotone, il quale dice:
Teorema Sia $a_n$ una successione monotona limitata, è convergente.
inoltre, la successione delle somme parziali $S_n$ è una successione crescente, infatti si ha con $a_n>0$
$S_(n+1)=S_n+a_(n+1) ge S_n$

Ora devo verificare la limitatezza della successione $S_n$, procedo cosi:
$a_n>0 to 0 allora, $S_(n+1)$ è somma di successioni limitata, per cui risulta tale.Per il teorema sopra citato, $S_n$ ammette limite finito, ossia, è convergente, quindi, anche la serie proposta è convergente.

Ci sono errori ?


Ciao
Risposte
dissonance
dissonance
13 giu 2019, 09:26
È sbagliato. Devi dimostrare che \(S_n\) è limitata, ovvero che esiste una costante \(C>0\) tale che
\[
|S_n|\le C, \qquad \forall n\in \mathbb N.\]
Dove hai dimostrato questo fatto? Scrivimi esplicitamente la costante \(C\) che hai trovato, se l'hai trovata.
galles90
galles90
13 giu 2019, 13:22
Ciao dissonance, grazie per la risposta.

Si grazie che mi hai fatto notale l'errore,comunque,partendo da questa relazione
$S_(n+1)ge S_ngeS_0$
ricordando la definizione di
$S_(n+1)=S_n+a_(n+1)$
inoltre essendo che $a_(n+1)=a_n/(2+a_n)<1$ si ha
$1+S_n>S_ngeS_0.$

Ora quì mi sono bloccato, non saprei come procedere per dimostrare che $S_n$ risulti limitata superiormente, potresti darmi qualche dritta :) ?

Ciao
dissonance
dissonance
13 giu 2019, 15:18
SI: criterio del rapporto. :-)

Ti rendi conto che non hai fatto niente? Il fatto che \(1+S_n>S_n\) è una cosa ovvia vera per qualsiasi numero. Tutti i numeri sono più piccoli di sé stessi +1, lo sanno anche i bambini alle elementari.

Lascia stare e fai come dice il libro, ascoltami a me.
anto_zoolander
anto_zoolander
13 giu 2019, 15:47
Ma poi perché non ti piace il criterio del rapporto?
gugo82
gugo82
13 giu 2019, 16:08
@ galles90: Perdona la curiosità, ma hai seguito i corsi del primo anno?
galles90
galles90
13 giu 2019, 16:45
Ciao anto_zoolander,

no, non è per questo, volevo provare un'altra strada, ma dalla affermazione di dissonance, presumo che non ci sia.

Ciao gugo82,

no, studio a casa, perchè ? :-)
anto_zoolander
anto_zoolander
13 giu 2019, 16:51
Non è facile studiare da solo; te lo dico per esperienza in merito
gugo82
gugo82
13 giu 2019, 16:53
"galles90":
Ciao anto_zoolander,

no, non è per questo, volevo provare un'altra strada, ma dalla affermazione di dissonance, presumo che non ci sia.

Il fatto è che in questo caso il Criterio del Rapporto fornisce la risposta in maniera che dire immediata è poco.

"galles90":
Ciao gugo82,

no, studio a casa, perchè ? :-)

Eh, no, così non va.

A meno che gravi motivi ti siano di impedimento, le lezioni vanno seguite.
galles90
galles90
13 giu 2019, 18:28
@anto_zoolander

in bocca a lupo, se stai continuando con gli studi :-)

@ gugo82

dietro c'è altro...comunque speriamo che me la cavo con l'esame :-)
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