Analisi matematica di base

Salve a tutti, avrei questo esercizio da proporre. Sia data la seguente successione di funzioni, dimostrare che essa converge uniformemente in $ (0, +oo) $ $ f_n(x)=(nx)/((1+nx)(x^2+1)) $ Prima di tutto ho calcolato la funzione limite di date successione di funzioni per vedere se convergeva puntualmente e ho trovato: $f(x)=1/(x^2+1)$ Adesso per vedere se converge uniformemente devo verificare che: $ lim_(n -> +oo) Sup (|f_n(x)-f(x)|) = 0 $ In seguito mi sono calcolato la derivata di $ |f_n(x)-f(x)| $ e l'ho posta ...

Domando gentilmente un suggerimento per il seguente: Siano \(\displaystyle x_{1}, \ x_{2}, \ ... \ ,x_{n} \ge 0 \) numeri reali e sia \(\displaystyle x=x_{1}+x_{2}+...+x_{n} \) la loro somma. Provare che \[\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} x_{k} x_{k+1} \le \frac{x^{2}}{4} \] Un provato un po' a scandagliare tutti gli argomenti affrontati finora nel corso, ma non sono riuscito a cavare un'idea adoperabile. In principio pensavo di poter servirmi della densità di ...

salve, ho bisogno di alcuni chiarimenti riguardanti il polinomio di taylor con $x_0=0$. Quando faccio lo sviluppo di una funzione, ad esempio $ log (x+1) $ , ottengo un polinomio di un certo grado, nel caso del nostro esempio otteniamo $ x-(x^2)/(2) +(x^3)/(3)+...+ (-1)^n-1*(x^n)/n $ , ma nel momento in cui la mia funzione è elevata ad una potenza, ad esempio $ log(1+x)^n $ , non so come agire. Potrei elevare ad $ n $ il polinomio che ho trovato, ma sarebbe un calcolo con alta probabilità di ...

vorrei provare che se $a>b>0$ allora per ogni $n>=1$ $a^{n}-b^{n}<= (a+b)^{n-1}(a-b)$. il caso $n=1$ è ovvio. il passo induttivo: $(a+b)^{n}(a-b)>(a^{n}+b^{n})(a-b)$ dove ho utilizzato il binomio di Newton ma poi non riesco ad andare avanti ed ottenere la stima che voglio. forse è sbagliato il procedimeno?

Saluto tutti è il mio primo post! Sto studiando le equazioni differenziali a variabili separabili, il mio libro dice che se alcune equazioni sono sono a variabili separabili ma sono del tipo $y' = f( ax + by + c )$ possono essere ridotte a variabili separabili, e che y è soluzione se e solo se $z(x) = ax + by(x) + c$ è soluzione di $z' = a + bf(z)$. Successivamente in un esempio chiede di trovare le soluzioni del equazione differenziale $y' = e^(x + 2y) -1/2$. Quindi pone $z(x) = x + 2y$ da cui ...

Ciao a tutti, ho alcuni dubbi su due serie numeriche. Ho provato a studiarne il comportamento 1) $ \sum_{n=1}^(+oo) sen^2(1/n) $ e' a termini positivi. La condizione necessaria dice che puo' anche convergere uso il criterio del confronto con la serie $b_n = 1/n^2$, posso dire che $ sen^2(1/n) <= 1/n^2 $ ? Se vale la disequazione allora $\sum_{n=1}^(+oo) 1/n^2 $ converge $ rArr \sum_{n=1}^(+oo) sen^2(1/n) $ converge Il dubbio e' nella disequazione $ sen^2(1/n) <= 1/n^2 rArr ( sen^2(1/n) ) / (1/n^2) <= 1 $ Posso fare il limite per dimostrarlo? $\lim_{n -> +oo} ( sen^2(1/n) ) / (1/n^2) = \lim_{n->+oo} (sen(1/n))/(1/n) * (sen(1/n))/(1/n) = 1$ Si possono ...

Ciao a tutti E' in atto una diatriba con un mio amico. Quanto fa: radq(9)+radq(9)=??? (cioè la somma della radice quadrata di 9 + la radice quadrata di 9) Per ora non aggiungo altro, per non condizionarvi, ma non è cosi banale come sembra. Gazie in anticipo ciao a tutti

Sono alle prime armi con le sommatorie. Potresti darmi una mano per dimostrare che: \(\displaystyle \displaystyle\sum_{i=0}^{b}(-1)^i \displaystyle\binom {b}{i} (b-i)^b= \displaystyle\sum_{i=0}^{b}(-1)^{b+i}\displaystyle\binom{b}{i}i^b=b! \) Dove il primo membro è la cardinalità dell'insieme delle funzioni surgettive \(\displaystyle f:\mathbb{A} \rightarrow \mathbb{B} \) quando la cardinalità dei due insiemi è la stessa, esso è uguale quindi ad \(\displaystyle b! \). Il fatto è che non riesco a ...

Ciao ragazzi, al momento non ho il libro di analisi e avrei bisogno della dimostrazione di questa proposizione: Data una funzione $f:R^(n)->R$ , $f>=0$, $f $ L-misurabile allora esiste $(f_k)_(KinNN)$ t.c: 1)$f_k$ funzione semplice per ogni $k inNN$ 2)$f_k<=f_(k+1)$ quasi dappertutto per ogni $k in NN$ 3)$f_k->f $per $k->oo$ quasi dappertutto. Qualcuno mi sa dire se e dove la posso trovare su internet? ...

ciao a tutti, siano $z,w\in CC$ tali che $|z|<1$ e $|w|<1$. dimostrare che $|\frac{z-w}{1-\bar{w}z}|<1$. Quindi $|\frac{z-w}{1-\bar{w}z}|<1$ se e solo se $|z-w|<|1-\bar{w}z|$ se solo se $|z|^{2}+|w|^{2}<1+|w|^{2}|z|^{2}$ ma adesso non riesco a dimostrare quest'ultima disuguaglianza. suggerimenti?

ciao! oggi a lezione di analisi abbiamo fatto degli esercizi a risposta multipla: alcuni di questi erano dei quesiti sulla composizione di funzione... Per uno di questi, per essere risolto, abbiamo fatto il grafichetto della composta: $ f(x)=x-[x]\ e\ g(x)=cos(x) $ non ho capito come ha fatto a fare il grafico di $ (fog)(x)=cos(x)-[cos(x)] $ . qualcuno può spiegarmi COME si fa a ricavarlo? grazie e buona giornata a tutti!

salve! ho questo integrale doppio che sembrava facile.. ma passando in polari la situazione si complica a quanto pare invece che semplificarsi! (in più ho un modulo che mi confone) i dati sono $int_E y(1+|x|)^-2$ $dxdy$ $E= $ ${(x,y) in R^2: 1<=x^2+y^2<=4, y>=0}$ e passando in polari l'integrale si complica... poi mi domandavo.. essendo una figura simmetrica.. invece che farlo per polari da $0$ a $pi$ potevo portare un 2 fuori e fare l'integrale da 0 a ...

Salve, supponiamo di avere la seguente equazione: $d/dx A(x)=a(x)$, con $a(x)$ funzione nota. Ora, i libri di fisica ecc.. hanno il brutto vizio di scrivere l'equazione di prima nella forma $((dA)/(dx))=a(x)$, da cui si ottiene $dA=a(x)*dx$. So che se ne è parlato molto. A me però interessa solo sapere qual è il modo rigoroso per arrivare all'ultima espressione che ho scritto. Io ho ragionato cosi: se $d/dx A(x)=a(x)$, allora $A(x)=(int (a(x)*dx))+C$. Quindi, se differenzio la ...

Buongiorno a tutti. Vi propongo il seguente limite: $ lim_(n -> oo) [ sqrt(n^2+1) ]-n $ dove ho indicato con le parentesi quadre la parte intera. E' proprio quest'ultima a darmi fastidio. Normalmente procederei con la "razionalizzazione al contrario" ma la parte intera mi dà fastidio. Consigli?

Salve. Alcuni chiarimenti sulla nozione di derivata per funzioni di cui da titolo: Posto $Y$ spazio normato, $I sub RR$ un intervallo. Ho che $f: I -> Y$ è derivabile in un punto $\xi in I$ se e solo se vale $f(s) = f(\xi) + vec(a)(s-\xi) + \sigma_\xi(s) (s-\xi)$ con $vec(a) = f'(\xi)$ e $\sigma_\xi:I->Y$ t.c. $lim_(s->\xi) \sigma_\xi(s) = 0$. La mia domanda è sulla funzione $\sigma_\xi$: può essere scelta a piacimento purché si annulli al limite per $s->\xi$? Cioè posso scegliere ad esempio che ...

Cari ragazzi vorrei una piccola conferma a riguardo dell'uguaglianza di Parseval , la quale afferma : $ int_()^() (f(t))^2dt $ = $ (a_0)^2 /2 $ + $ sum_(k = 1)^( oo ) (a_k)^2 + (b_k)^2 $ vale se la funzione di partenza è 2-integrabile ? Oppure l'ipotesi deve essere più forte (vs debole ) ? Ringrazio anticipatamente per la collaborazione .

Ciao gente, sto cercando una maniera per calcolare la standardizzazione dei polinomi di Legendre. Spiego meglio quello che intendo. Dalla formula di Rodriguez sappiamo che assumono una forma proporzionale a $ P_n(x) = (d^n)/(dx^n) [(x^2-1)^n] $ ora io vorrei trovare una maniera generale (intendo con $n$ generico) per calcolare $K_n = \int_{-1}^{1} P_n(x) P_n(x) dx $ La mia idea sarebbe quella di usare l'integrale da in x da $-1$ a $1$ del prodotto di due funzioni ...

Una norma è strettamente convessa se dati due vetori x,y, indicando la norma di x come |x| : |x| + |y| = |x+y| Allora faccio un esempio: x=(0,1) -> |x|=1 y=(1,0) -> |y|=1 |x| + |y| =2 Ma |x+y|=|(1,1)| = radice(2) E' questo che non mi torna, |x|+|y| non è uguale a |x+y| in questo caso.

Ciao, amici! Vorrei sottoporvi un problemino che mi pare semplice (volevo postarlo nella sezione per la secondaria, ma, dati certi formalismi richiesti e il fatto che l'ho trovato in un testo di analisi per l'università, posto qui...). Il mio libro dice che, se $a_n!=0$, si ha che $lim_(n->+oo) a_n=+oo => lim_(n->+oo) 1/a_n=0$ il che mi pare non troppo difficile da dimostrare perché, dalla definizione di successione divergente $lim_(n->+oo) a_n=+oo <=> AA M>0, EE N:(n>N => a_n>M)$ per cui, tenendo conto della definizione di limite ...

C'è un integrale semplice,ma non so perchè non l'ho fatto 5 volte,ma con 5 risultati diversi! L'integrale è questo: $ int_(0)^(pi/2) x cos (kx) dx $ . L'ho integrato (ovviamente) per parti,e mi sembra inutile scrivere tutti i passaggi. Quindi posto la parte dubbia: Quell'integrale è uguale a: $ (x sen(kx))/k - int sen(kx)/k dx $ Ho tralasciato le sostituzioni sul quale penso di non avere problemi! Questo passaggio è corretto? Grazie!