Derivata per funzioni vettoriali di variabile reale e norma

[Kyl1]

Salve.
Alcuni chiarimenti sulla nozione di derivata per funzioni di cui da titolo:
Posto $Y$ spazio normato, $I sub RR$ un intervallo. Ho che $f: I -> Y$ è derivabile in un punto $\xi in I$ se e solo se vale $f(s) = f(\xi) + vec(a)(s-\xi) + \sigma_\xi(s) (s-\xi)$ con $vec(a) = f'(\xi)$ e $\sigma_\xi:I->Y$ t.c. $lim_(s->\xi) \sigma_\xi(s) = 0$. La mia domanda è sulla funzione $\sigma_\xi$: può essere scelta a piacimento purché si annulli al limite per $s->\xi$? Cioè posso scegliere ad esempio che abbia la forma $sigma_\xi(s) = |s-\xi|vec(u)$ con $vec(u)$ un versore arbitrario?

Questa domanda è nata dal mio cercare di dimostrare che $||f'(\xi)|| = lim_(s->\xi) ||(f(s) - f(\xi))/(s-\xi)||$, cioè che $ ||lim_(s->\xi) (f(s) - f(\xi))/(s-\xi)|| = lim_(s->\xi) ||(f(s) - f(\xi))/(s-\xi)||$, fatto che il mio testo prende per scontato tanto da non meritare neppure un'osservazione, il che mi fa pensare che si possa dimostrare in modo banale. Cionondimeno ho provato ad abbozzarne una io:
1) $lim_(s->\xi) ||(f(s) - f(\xi))/(s-\xi)|| = lim_(s->\xi) ||f'(\xi) + \sigma_\xi(s)|| <= lim_(s->\xi) ||f'(\xi)|| + lim_(s->\xi) ||\sigma_\xi(s)|| = ||f'(\xi)||$
2) Se poi le considerazioni di cui ad inizio post erano esatte posso scegliere $\sigma_\xi(s) = |s-\xi|vec(u)$ con $vec(u)$ versore parallelo a $f'(\xi)$, allora $||f'(\xi) + \sigma_\xi(s)|| >= ||f'(\xi)||$ e infine
$lim_(s->\xi) ||(f(s) - f(\xi))/(s-\xi)|| = lim_(s->\xi) ||f'(\xi) + \sigma_\xi(s)|| >= ||f'(\xi)||$

Dove sbaglio? (parto prevenuto ).
Grazie

[dissonance]

"Kyl":La mia domanda è sulla funzione $\sigma_\xi$: può essere scelta a piacimento purché si annulli al limite per $s->\xi$? Cioè posso scegliere ad esempio che abbia la forma $sigma_\xi(s) = |s-\xi|vec(u)$ con $vec(u)$ un versore arbitrario?

Certo che no. Se fosse come dici, tutte le funzioni sarebbero polinomi (o qualcosa del genere). \(\sigma\) è una funzione di cui non si sa nulla se non che si annulla per \(s \to \xi\).

[Rigel1]

In realtà della funzione $\sigma_{\xi}$ si sa tutto; infatti
\[
\sigma_{\xi}(s) = \frac{f(s) - f(\xi) - a (s-\xi)}{(s-\xi)}, \qquad s\neq \xi\,.
\]

[Kyl1]

azz... avete ragione (ovviamente)! Come si vede allora che la norma della derivata è pari al limite della norma dei rapporti incrementali?

[Rigel1]

La tua domanda equivale alla seguente:
se $x_j\to x$ (in uno spazio normato), allora \( \|x_j\| \to \|x\| \).
Questa è una diretta conseguenza della disuguaglianza triangolare:
\( | \|x_j\| - \| x\| | \leq \| x_j-x\| \to 0 .\)

[Kyl1]

La soluzione è sempre la più banale . Grazie mille!