Problema integrale $int(sin^n(x)*cos^n(x))dx$
ormai è un integrale che mi tormenta e non mi lascia più stare...
Va bene quando uno dei due esponenti $n$ è dispari, in modo tale da fare (ad esempio) $(1-sin^2(x))*cos(x)$ (che sarebbe $cos^3(x)$. Fin li va tutto bene, poichè poi tutto lo associo alla derivata semplice di $cos(x)$ e continuo...
Ma il problema sorge quando l'esponente $n$ è pari.. Li mi blocco troppo...
La mia domanda è : Non esiste una formula generale che si applica ad integrali del tipo descritto nel titolo? Cioè se mi capita un integrale del tipo :
$int(sin^(88)(x)*cos^(24)(x) dx$, possibile che non ci sia una formula risolutiva per tale integrale?
Ammesso che non esista una formula risolutiva generale, come potrei almeno iniziare a risolvere l'integrale :
$int(sin^6(x)*cos^6(x) dx$ ? Sta nelle prove d'esame che devo svolgere, ma non ho davvero la più pallida idea da dove iniziare...
Va bene quando uno dei due esponenti $n$ è dispari, in modo tale da fare (ad esempio) $(1-sin^2(x))*cos(x)$ (che sarebbe $cos^3(x)$. Fin li va tutto bene, poichè poi tutto lo associo alla derivata semplice di $cos(x)$ e continuo...
Ma il problema sorge quando l'esponente $n$ è pari.. Li mi blocco troppo...
La mia domanda è : Non esiste una formula generale che si applica ad integrali del tipo descritto nel titolo? Cioè se mi capita un integrale del tipo :
$int(sin^(88)(x)*cos^(24)(x) dx$, possibile che non ci sia una formula risolutiva per tale integrale?
Ammesso che non esista una formula risolutiva generale, come potrei almeno iniziare a risolvere l'integrale :
$int(sin^6(x)*cos^6(x) dx$ ? Sta nelle prove d'esame che devo svolgere, ma non ho davvero la più pallida idea da dove iniziare...
Risposte
Rispondo per l'ultimo integrale: Puoi ad esempio notare che $sin^6(x) = (sin^2(x))^3 = (1-cos^2(x))^3$ con cui ti riduci a dover fare integrali con solo potenze del coseno. Questi si risolvono in generale con pazienza e integrazione per parti, magari ricordando la formula di bisezione del coseno per cui $cos^2(x) = (1+cos(2x))/2$ e la formula di riduzione per cui $int cos^n(x)dx = (sin(x)cos^(n-1)(x))/n + n/(n+1) int cos^(n-2)(x)dx$
innanzitutto grazie per l'aiuto.
però non mi trovo con la tua formula. Se provo ad esempio $n=1$ uscirebbe che l'integrale del coseno è seno + $frac{1}{2} int frac{1}{cos(x)}dx$
^^
però non mi trovo con la tua formula. Se provo ad esempio $n=1$ uscirebbe che l'integrale del coseno è seno + $frac{1}{2} int frac{1}{cos(x)}dx$
^^
ah ecco. Ho trovato su internet che la formula che hai espresso tu vale per $n>=2$ 
grazie mille!
grazie mille!
Ti riferisci alla formula di riduzione? E' valida per $n>=2$... e comunque riguardando bene ho fatto confusione con alcuni termini 
. Al posto di $n/(n+1)$ metti $(n-1)/n$, che ad esempio applicata per $n=2$ porta alla stessa conclusione della formula di bisezione. Ad ogni modo è una semplice applicazione dell'integrazione per parti a partire da $int cos^n(x)$, che puoi facilmente verificare 
. Al posto di $n/(n+1)$ metti $(n-1)/n$, che ad esempio applicata per $n=2$ porta alla stessa conclusione della formula di bisezione. Ad ogni modo è una semplice applicazione dell'integrazione per parti a partire da $int cos^n(x)$, che puoi facilmente verificare
perfetto, grazie ancora
scusami però non capisco una cosa..
ammettiamo che ho $int cos^3(x) dx$. Trasformo così :
$int (1-sin^2(x))cos(x) dx$, da cui :
$int cos(x) dx - int sin^2(x)cos(x) dx$. Da qui il risultato :
$= sin(x) - frac{sin^3(x)}{3} + c$. Non mi trovo più con la formula risolutiva :\
ammettiamo che ho $int cos^3(x) dx$. Trasformo così :
$int (1-sin^2(x))cos(x) dx$, da cui :
$int cos(x) dx - int sin^2(x)cos(x) dx$. Da qui il risultato :
$= sin(x) - frac{sin^3(x)}{3} + c$. Non mi trovo più con la formula risolutiva :\
OK OK! ho risolto. dire il risultato che è venuto a me o dire il risultato della formula risolutiva è la stessa identica cosa. sono due forme di risultato che esprimono la stessa cosa solo che espressi in termini diversi. L'ho potuto confutare con Wolfram stesso, scegliendo prima di integrare $cos^3(x)$ con la formula risolutiva e poi facendo l'integrale $int (1-sin^2(x))*cos(x)$. Il risultato è identico.
OK. Problema risolto. Grazie mille
OK. Problema risolto. Grazie mille
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