Polinomi di Legendre e loro standardizzazione

[alle.fabbri]

Ciao gente,
sto cercando una maniera per calcolare la standardizzazione dei polinomi di Legendre. Spiego meglio quello che intendo. Dalla formula di Rodriguez sappiamo che assumono una forma proporzionale a
$ P_n(x) = (d^n)/(dx^n) [(x^2-1)^n] $
ora io vorrei trovare una maniera generale (intendo con $n$ generico) per calcolare
$K_n = \int_{-1}^{1} P_n(x) P_n(x) dx $
La mia idea sarebbe quella di usare l'integrale da in x da $-1$ a $1$ del prodotto di due funzioni generatrici
$ 1/(\sqrt{1-2xt+t^2}) = \sum_{n \ge 0} P_n(x) t^n $
per poi scambiare le due serie con l'integrale e sfruttare il fatto che
$ \int_{-1}^{1} P_n(x) P_m(x) dx = 0$ per $m\ne n$
ma mi blocco perchè non so come riscrivere il prodotto delle serie.
Qualcuno ha qualche idea, referenza, link che faccia al caso mio?
Come sempre, grazie in anticipo.

[ciampax]

Per il prodotto delle serie alla Cauchy puoi scrivere

$(\sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n)^2=\sum_{n=0}^\infty C_n(x) t^n$

dove $C_n(x)=\sum_{k=0}^n P_k(x) P_{n-k}(x)$

[alle.fabbri]

Direi di aver risolto (grazie a Gugo e Ciampax).
Intanto nel mio primo post c'è una imprecisione. Infatti la funzione generatrice è quella che ho postato soltanto se uno assume la seguente definizione
$ P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} [ (x^2-1)^n ] $
Assumendo che valga
$ \int_{-1}^{1} P_n(x) P_m(x) dx = K_n \delta_{n,m}$
(a secondo membro c'è il simbolo di Kronecker), ci proponiamo di calcolare $K_n$.
A tal fine consideriamo la relazione
\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-2xz+z^{2}}}=\sum _{{n=0}}^{\infty} P_{n} \left(x\right)z^{n} \)
quadrandola si ottiene
\(
\begin{split}
\frac{1}{1-2xt+t^2} =\left( \sum_{n= 0}^\infty P_n(x) t^n\right)*\left( \sum_{n= 0}^\infty P_n(x) t^n\right)
\end{split}
\)
dove il prodotto delle serie è da intendersi alla Cauchy, quindi
\(
\begin{split}
\frac{1}{1-2xt+t^2} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n P_k(x)P_{n-k} (x) t^n = \sum_{n=0}^\infty \, t^n \, \sum_{k=0}^n P_k(x)P_{n-k} (x)
\end{split}
\)
Se ora integro entrambi i membri rispetto a $x$ da $-1$ a $1$ ottengo
\(
\begin{split}
\int_{-1}^{1} \frac{1}{1-2xt+t^2} dx = \int_{-1}^{1} \sum_{n=0}^\infty \, t^n \, \sum_{k=0}^n P_k(x)P_{n-k} (x) dx
\end{split}
\)
a destra, dopo aver scambiato la serie e la somma finita con l'integrale (cosa che mi sembra ragionevole, anche se non sono soffermato troppo sul giustificare rigorosamente questo passaggio...non vogliatemene )
\(
\begin{split}
\sum_{n=0}^\infty \, t^n \, \sum_{k=0}^n \int_{-1}^{1} P_k(x)P_{n-k} (x) dx = \sum_{n=0}^\infty \, K_n t^n \, \sum_{k=0}^n \delta_{k,n-k}
\end{split}
\)
Ora la somma finita sul simbolo di Kronecker si riduce ad un unico termine non nullo, quello per cui $k=n-k$, che è uguale ad $1$. Inoltre fissa anche i possibili valori di $n$ ai soli pari. In conclusione $n=2m$ e $k=m$ per $m=0,1,2,\cdots$. (Grazie a gugo per avermi mostrato questo trick). Quindi posso riscrivere il secondo membro come
\(
\begin{split}
\sum_{m=0}^\infty \, K_m t^{2m}
\end{split}
\)
Il primo membro è un integrale elementare
\(
\begin{split}
&\int_{-1}^{1} \frac{1}{1-2xt+t^2} dx = \frac{1}{2t} \left[ \ln \left( 1 + \frac{2t}{1 + t^2}\right) - \ln \left( 1 - \frac{2t}{1 + t^2}\right) \right] = \frac{1}{t} \left[ \ln \left( 1 + t \right) - \ln \left( 1 - t \right) \right]
\end{split}
\)
che ricordando la serie del logaritmo
\(
\begin{split}
&\ln \left( 1 + t \right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} t^n \\
&\ln \left( 1 - t \right) = - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n} t^n
\end{split}
\)
diventa
\(
\begin{split}
\frac{1}{t} \left[ \ln \left( 1 + t \right) - \ln \left( 1 - t \right) \right] = \frac{1}{t} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} + 1 }{n} t^n = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{2 }{2m+1} t^{2m}
\end{split}
\)
Uguagliando i coefficienti delle due serie
\(
\begin{split}
K_m = \int_{-1}^{1} P^2_m(x) dx = \frac{2}{2m+1}
\end{split}
\)
Vi torna?