Integrale improprio con parametro

[Ale2504]

Ciao a tutti, ho un integrale improprio che mi da problemi:

$\int_{2}^{+infty} 1/(sqrt(x+2)*(x-2)^(3\alpha)) dx$

Devo dire per quali valori di $\alpha$ l'integrale converge.

Soluzioni: $1/6<\alpha<1/3$

Ho provato a partire dalle soluzioni per capire il procedimento. Ad esempio sostituendo $1/4$ ad $\alpha$ e poi cercando di scomporre in fratti semplici ma non sono riuscito.

Grazie!

[Camillo]

Non devi calcolare l'integrale definito, devi solo capire quando converge.
Hai 2 punti critici : $x=2 $ perchè annulla il denominatore e poi $ x rarr +oo $.
Pensa a cosa è asintotica la funzione integranda nei due casi.
In un intorno di $x=2 $ la funzione integranda è asintotica a $1/(2(x-2)^(3 alpha) )$ ; converge se $ 3 alpha < ..... $ , concludi ; poi esamina come si comporta la funzione integranda se $ x rarr +oo $ , sarà asintotica a ....

[Ale2504]

Il mio testo dice $1/x^\alpha$ converge per $\alpha>1$ ma le soluzioni mi suggerscono che $1/(2*(x-2)^(3\alpha))$ converge per $3\alpha<1$ quindi $\alpha<1/3$, oppure sono totalmente fuori strada.

Per $x->+infty$ saprei solo dire che tende a 0.

Grazie!

[Camillo]

Come riferimento si prende la funzione integranda $ 1/x ^(alpha)$ per la quale si afferna che nell'intorno di $x=0 $ la funzione è integrabile se $ alpha < 1 $ .( non come hai scritto tu $alpha >1 $ ).Ti consiglio di verificare sul testo il perchè- non è difficile.
Nel caso di funzione integranda pari a $ 1/((x-2)^alpha)$ il punto critico è $x=2 $ cioè ove il denominatore si annulla ( nel caso precedente ovviamente era $x=0 $ ) ; perchè sia integrabile deve essere $alpha < 1 $.
Nel caso tuo hai $1/((x-2)^(3 alpha)) $ e dunque la funzione sarà integrabile se $3 alpha <1 , rarr alpha < 1/3 $ ok ?

Tutto questo per quanto riguarda una funzione che diverge a $ oo $ in un punto o più punti del suo insieme.

Altra musica, vedere cosa succede se un estremo di integrazione è $oo $ .
Il riferimento è $int_1 ^(oo) 1/(x^(alpha)) $ . Non è difficile verificare che l'integrale converge se $alpha > 1 $.
Che succede nell'intorno di $ oo $ alla tua funzione integranda ?
Essa è asintotica a $1/((x^(1/2))*(x^(3 alpha)))=1/(x^(1/2+3alpha) )$; dunque perchè converga deve essere $1/2+3alpha > 1 $ da cui $ alpha > 1/6 $.

Coclusione : l'integrale converge se $ 1/6

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[Ale2504]

Tutto chiaro ora. Grazie Camillo!