Funzione implicita
sono bloccata su questo esercizio:
Mostrare che l'equazione $2e^{x+y} +y - x =0$ definisce in un intorno di $(-1,1)$ un'applicazione $ y =\phi (x)$.
allora posso scrivere $ f : RR^2 -> RR $ t.c. $f(x,y) = 2e^{x+y} +y - x $ .
La sua Jacobiana è $ ( ( 2e^{x+y} -1 , 2e^{x+y} +1 ) ) $ e quindi $ Jf (1,-1) = ((1,3))$.
e ora potrei applicare il teorema delle funzioni implicite.. ma sento di aver fatto qualche errore..
oppure fin qua è giusto?
Mostrare che l'equazione $2e^{x+y} +y - x =0$ definisce in un intorno di $(-1,1)$ un'applicazione $ y =\phi (x)$.
allora posso scrivere $ f : RR^2 -> RR $ t.c. $f(x,y) = 2e^{x+y} +y - x $ .
La sua Jacobiana è $ ( ( 2e^{x+y} -1 , 2e^{x+y} +1 ) ) $ e quindi $ Jf (1,-1) = ((1,3))$.
e ora potrei applicare il teorema delle funzioni implicite.. ma sento di aver fatto qualche errore..
oppure fin qua è giusto?
Risposte
Fin qui va bene, anzi è praticamente già finito. Una nota sul testo: probabilmente il testo prosegue dicendo ... "tale che $2e^{x+\phi(x)}+\phi(x)-x=0$ per ogni $x$ tale che $(x,y)$ sta nell'intorno trovato di $(-1,1)$".
"Luca.Lussardi":
Fin qui va bene, anzi è praticamente già finito. Una nota sul testo: probabilmente il testo prosegue dicendo ... "tale che $2e^{x+\phi(x)}+\phi(x)-x=0$ per ogni $x$ tale che $(x,y)$ sta nell'intorno trovato di $(-1,1)$".
No, Il testo prosegue dicendo: " Calcolare lo sviluppo di $\phi$ nell'intorno di $1$ limitato al secondo ordine. "
Quello che mi confonde è che mi chiede di calcolare nell'intorno di $1$ e non $(1,-1)$ e infatti devo trovare $\phi (x) = y$ , quindi è solo in funzione di x...
forse ho capito..
proseguo così:
applicando il teorema delle funzioni implicite, esiste $U$ intorno di 1 in $RR$ e $V$ intorno di $-1$ in $RR$ e $\phi : V -> U$ funzione $C^{oo}$ tale che $AA (x,y) in U x V F(x,y)=0 <=> y = \phi(x)$ e $\phi(1)=-1$ .
Poi, $f(t,\phi(t))=0 AA t in U => D_1 f(1,-1) + D_2 f(1,-1) @ y' (t) =0$ cioè \(y'(t)=\frac {-1}{3}\).
Ma per lo sviluppo al secondo ordine come faccio a trovare la derivata seconda?
proseguo così:
applicando il teorema delle funzioni implicite, esiste $U$ intorno di 1 in $RR$ e $V$ intorno di $-1$ in $RR$ e $\phi : V -> U$ funzione $C^{oo}$ tale che $AA (x,y) in U x V F(x,y)=0 <=> y = \phi(x)$ e $\phi(1)=-1$ .
Poi, $f(t,\phi(t))=0 AA t in U => D_1 f(1,-1) + D_2 f(1,-1) @ y' (t) =0$ cioè \(y'(t)=\frac {-1}{3}\).
Ma per lo sviluppo al secondo ordine come faccio a trovare la derivata seconda?
Devi andare avanti a derivare la relazione $f(t,\phi(t))=0$.
"Luca.Lussardi":
Devi andare avanti a derivare la relazione $f(t,\phi(t))=0$.
ok grazie.
e quindi $\phi''(1) =frac {-4}{9}$.
e per rispondere alla domanda in cui mi chiede lo sviluppo di $\phi$ devo scrivere proprio la derivata seconda della relazione $f(t,\phi(t))=0$ in funzione di $t$, giusto?
Lo sviluppo attorno a $t=1$ di $\phi$ è dato da $\phi(t)=\phi(1)+(t-1)\phi'(1)+\frac{1}{2}(t-1)^2\phi''(1)+R$ dove il resto $R$ lo scrivi come vuoi.
ok grazie e ovviamente dove posso sostituisco i valori numerici?
No, nessuna sostituzione nella formula dello sviluppo, essa vale per ogni $t$ nell'intorno dato dal th del Dini. I valori numerici che hai determinato sono solo le derivate prima e seconda in $t=1$.
molte grazie
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