Due esercizi di Analisi Funzionale

[Sk_Anonymous]

Buonasera a tutti ! Vorrei sapere se questi due esercizi che posto qui di seguito sono corretti ( almeno il 1 ,perchè il 2 non so come continuare !!) :

1) Dato $X={0}∪_k 1/ k $ e $ d(x,y)=|x−y|$ si spieghi perchè non c'è contraddizione con il teorema di Baire.

Svolgimento : Il teo di Baire afferma una cosa molto importante e cioè che uno spazio metrico completo è di seconda categoria in sè,ovvero che non si può scrivere come unione numerabile di insiemi mai densi...venendo all'esercizio si nota che non vi è contraddizione con questo teorema ,perchè l'insieme X contiene necessariamente un punto isolato ( che è 1 ) $ ∃k:∀x∈Xd(x,x_ k )<δ,δ>0⇒(−δ+x_ k ,δ+x _k )∩X={x _k } $ e l'interno di tale punto rappresenta proprio l'aperto che mi garantisce che X non è di prima categoria.
Ci sono errori/orrori ?

2) Si dimostri che la palla unitaria di $ l^(\infty) $ non è totalmente limitata .
Svolgimento: ho considerato la successione $ x_n \in l ^(\infty) n=1… $ definita da $( x_j )^n =0 $ se $j≠n $,altrimenti uguale a 1 ,prendendo due successioni in quello spazio osservo che $||x _n −x_ m ||_ \infty =1$ ,qundi le palle di centri queste due successioni e di raggio $1/2 $ sono disgiunte,ma come posso continuare ?????

Grazie.

[gugo82]

"marge45":2) Si dimostri che la palla unitaria di $ l^(\infty) $ non è totalmente limitata .

Svolgimento: ho considerato la successione $ x_n \in l ^(\infty) n=1… $ definita da $( x_j )^n =0 $ se $j!=n $,altrimenti uguale a 1 ,prendendo due successioni in quello spazio osservo che $||x _n −x_ m ||_ \infty =1$ ,qundi le palle di centri queste due successioni e di raggio $1/2 $ sono disgiunte,ma come posso continuare ?????

Questo è abbastanza standard.

Come hai detto, prendi la successione di termine generale \(x^n:=(\delta_k^n)\) (qui i \(\delta_k^n\) sono di Kronecker) e comincia a ragionare per assurdo.
Per assurdo, supponi che la palla aperta \(B(o;2)\) sia precompatta: in tal caso, fissato \(0<\varepsilon <1/2\), potresti determinare un numero finito di punti \(y^1,\ldots ,y^M\) tali che \(B(o;2)\subseteq \bigcup_{m=1}^M B(y^m;\varepsilon)\); ma allora almeno una palla \(B(y^1;\varepsilon),\ldots ,B(y^M;\varepsilon)\), chiamala \(B(y^\mu;\varepsilon)\), dovrebbe contenere più di un \(x^n\) (anzi, ce n'é almeno una che ne contiene addirittura infiniti, ma ciò non ti serve...); ciò, però, è assurdo: infatti, detti \(x^n, x^p\) due elementi distinti della tua successione contenuti in \(B(y^\mu;\varepsilon)\), avresti:
\[
\lVert x^n-x^p\rVert_\infty \leq \lVert x^n-y^\mu\rVert_\infty +\lVert x^p-y^\mu\rVert_\infty <2\varepsilon <1
\]
contro il fatto che \(\lVert x^n-x^p\rVert_\infty=1\) per ogni \(n,p\in \mathbb{N}\)!

Ciò mostra che la palla \(B(o;2)\) non è precompatta; ma essendo \(B(o;1)=\frac{1}{2}B(o;2)\), nemmeno la palla \(B(o;1)\) può essere precompatta (perché?).

[Sk_Anonymous]

Grazie mille per la risposta Gugo !
Il primo ,invece,è corretto ??
Grazie ancora

[dissonance]

"marge45":1) Dato $X={0}∪_k 1/ k $ e $ d(x,y)=|x−y|$ si spieghi perchè non c'è contraddizione con il teorema di Baire.

Svolgimento : Il teo di Baire afferma una cosa molto importante [...]
Ci sono errori/orrori ?

Si, è detto proprio male. Parli di "punti isolati" ma non c'entrano nulla. E cos'è l'interno di un punto? Rifai tutto daccapo, cercando di essere più sistematico. La traccia ti dice: lo spazio metrico \(X\) è unione numerabile degli insiemi \(\{1/k: k =1, 2, \ldots\}\cup \{0\}\). C'è contraddizione col teorema di Baire? Inizia a rispondere alla domanda: sono verificate le ipotesi del teorema di Baire - ovvero, \(X\) è uno spazio metrico completo?

[Sk_Anonymous]

Sì è uno spazio metrico completo,ogni successione di Cauchy in $ X $ converge in $ X $ ...non capisco dove sbaglio !
Grazie

[dissonance]

Io direi che \(X\) è completo perché è un sottoinsieme chiuso di uno spazio metrico completo (la retta reale). Ok. Ora però \(X\) è unione numerabile dei singoletti \(\{1\}, \{1/2\}, \{1/3\} \ldots \{0\}\). Per il teorema di Baire questi insiemi non possono essere tutti mai densi: trovane almeno uno che non lo sia e spiega chiaramente perché.

[Sk_Anonymous]

Un insieme si dice rado o mai denso se l'interno della sua chiusura è vuoto...ogni intorno del punto $ 0 $ contiene almeno un punto del tipo $ \frac{1}{k}$ con $ k>=1 $,mentre ogni intorno di un punto del tipo $ \frac{1}{k} $ interseca lo spazio $ X$ solo in $ \frac{1}{k}$....non riesco ad andare avanti !

[dissonance]

Dai, su. Qual è la chiusura del singoletto \(\{1/k\}\)? E di \(\{0\}\)? Una volta calcolate queste chiusure, calcolane la parte interna. Trai le dovute conclusioni.