Analisi matematica di base

Salve a tutti, volevo chiedervi una mano con la dimostrazione del seguente teorema. Sia data la serie di potenze $sum_{n=0}^{+oo}a_n(x-x_0)^n$ con raggio di convergenza $0<rho<+oo$. Se tale serie converge nel punto $x_0+rho$ allora converge uniformemente per ogni x appartenente all'intervallo $[x_0-k,x_0+rho]$ per ogni $0<k<rho$. In maniera analoga se tale serie converge nel punto $x_0-rho$ allora converge uniformemente per ogni x appartenente all'intervallo ...

ho la seguente funzione \(\displaystyle f(z) = \frac{1}{z^n}arctg(z) \) \(\displaystyle n\in\{0,1,2,3,..\} \), devo determinare l'insieme dei punti singolari della funzione, ho un dubbio, l'unico punto in cui la funzione presenta discontinuità è \(\displaystyle z=0 \) per \(\displaystyle n\ne 0 \), ora il dubbio è, questa è una singolarità ? oppure un polo? Sarei portato a dire che è una singolarità essenziale perchè se provo a determinare l'ordine del polo ho che \(\displaystyle f_1(z) = ...

salve ragazzi ho questo esercizio calcolare $ int_(0)^(1) sin(x^2)dx $ con un errore inferiore a $ 1/1000 $ allora $ sin(x^2)=sum_(k = 0)^(oo)(x^(4k+1))/((2k+1)!)(-1)^k $ quindi facendo i vari passaggi e calcoli arrivo a $ sum_(k = 0)^(oo)((-1)^k)/((2k+1)!) * 1/(4k+3) $ ma a questo punto cosa devo fare per porre l'errore inferiore a quello richiesto? grazie

Salve; Come da Titolo , Sto cercando una dimostrazione "se esiste" dell'esistenza di Massimimo e minimo per sottoinsiemi chiusi e limitati di R. Ma non una qualsiasi; Dal consulto di vari testi di analisi ho avuto modo di vedere che, tale risultato è espresso dal celeberrimo "Teorema di Weierstrass"; come noto quest'ultimo fa largo uso del concetto di "funzione" per spiegare/dimostrare tale risultato ; A me serve invece una dimostrazione che non presenti il concetto di funzione ; Ho provato ...

Devo svolgere il seguente esercizio con il metodo delle serie di Fourier: $u_(t t)-u_(x x) +u =0 $ $u_x (0,t)=u_x(\pi, t) $ $ u(x,0)=0$ $ u_t(x,0)=1+cos^3 x $ qui $u$ è una funzione in 2 variabili, $x\in [0,\pi], t\geq 0$. Con $u_x$ indico la derivata prima in $x$. Ora, io ho iniziato l'esercizio come abbiamo di solito fatto in classe, ovvero cercando soluzioni del tipo $X(x)T(t)$ con lo scopo finale di scrivere $u(x,t)=\sum_{n} X_n(x) T_n(t)$. Utilizzando la prima equazione ...

Buongiorno a tutti, ho una domanda da porvi: ho la successione $\sum_{n=1}^oo ((3^n)-1)/(3^n*n)(-1)^n$. Devo vedere se converge e, per fare ciò, ovviamente devo usare il criterio di Leibnitz, dunque devo verificare che sia decrescente e poi che sia infinitesima.. Per wuanto riguarda la decrescenza ho provato sia con la derivata minore di zero sia con la disequazione $a_n > a_(n+1)$ ma non riesco a uscirne! Qualcuno potrebbe scrivere i passaggi salienti di una delle due disequazioni? Ieri ho anche parlato con la ...

Buonasera! La seguente serie di funzioni: $\sum_{n=1}^(+oo) x^(2n)e^(-2nx)n/(n^2+4)$ posso trattarla come una serie di potenze? In caso contrario come posso procedere? Grazie in anticipo!

Salve a tutti. Volevo sapere se lo svolgimento del seguente esercizio è corretto. L'esercizio è un semplice calcolo di integrale doppio: $ int_(D)^() (xy)/(x^2+4y^2)^(3/2) log(x^2+4y^2)dxdy $ dove $ D:{ ( x^2+4y^2 <= 4 ),( x >= 1 ),( y >= 1/2 ):} $ Andando a disegnare D scopro che è una parte dell'ellisse del primo quadrante che sta al di sotto dell'ellisse stessa e al di sopra delle due rette dell'insieme (non so se sono riuscito a farmi capire; mi è venuto, per intenderci, una specie di quarto di ellisse). Comunque ho svolto l'integrale usando le coordinate ...

1.26 Let $\{f_{n}\}$ be a sequence of measurable functions on $X$, and suppose that (a) $0<=f_{1}(x)<=f_{2}(x)<=...<=\infty \forall x \in X$ (b) $f_{n}(x)->f(x)$ as $n->\infty\forall x \in X$ Then $f$ is measurable, and \[ \int_{X}f_{n}d\mu \rightarrow \int_{X}fd \mu\ \ \text{as}\ \ n\rightarrow \infty \] PROOF Dato che \[f_{n}\leq f_{n+1}\Rightarrow \int f_{n}\leq \int f_{n+1}=a_{n+1}\in [0,\infty]\] abbiamo una successione monotona crescente $\{a_{n}\}$ che ammette quindi limite ...

Il modello di Gompertz per la crescita di una popolazione prevede un modello del tipo: $dx/dt = a_0*e^(-kt)*x$ Per capire se il modello presenta un punto di flesso, occorrerebbe evidentemente conoscere la derivata di questa funzione. Tuttavia io che, per problemi vari, non ho seguito il corso di Analisi II, non saprei neanche da che parte cominciare. Bisogna fare la derivata della funzione rispetto al tempo e cos'altro? Ringrazio chiunque abbia la cortesia e la pazienza di aiutarmi.

Vorrei determinare per quali valori di $0<\alpha<1$ la seguente serie a termini di segno alterno converge. $\sum_{n=2}^\infty log(1+(-1)^n/(n^\alpha))$. Ho provato a utilizzare il criterio di Leibnitz però per $0<\alpha<1$, i termini della serie in valore assoluto non costituiscono una successione monotona decrescente. Il criterio di Leibnitz si può applicare solo per $\alpha>=1$. In quale altro modo si potrebbe studiare la convergenza della serie da me proposta?

Salve,non riesco a risolvere il seguente esercizio: Assegnate $f(x)=(x^2-1)(x^2+1)$ e $g(x)=(x^2-1)^2$, riconoscere che esistono $x € [-1,1]$ in cui $f'(x)=g'(x)$. Come posso procedere?Non saprei da dove partire.Grazie.

devo mostrare che questa serie converge uniformemente in ogni intervallo limitato $sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n (x^2+n)/n^2$ ho pensato di calcolare Sup $|f_n(x)-s_n(x)|$ per $x in [a,b]$ cioè Sup $|sum_(k=n+1)^(+oo) (-1)^k (x^2+n)/k^2|$ che è $<=$ Sup$ sum_(k=n+1)^(+oo) (x^2+n)/k^2$ (°) ora le $f_n(x)=(x^2+n)/n^2$ sono decrescenti xchè se calcolo la derivata prima rispetto a n ottengo $-(n+2x^2)/n^3$ che è minore di 0 quindi posso dire che (°) è $<=$ di Sup $(x^2+n+1)/(n+1)^2$?

Ciao a tutti ragazzi. Sono alle prese con un problema di Cauchy. $y'(t)=(y^2+2y)/(2*(y+1)*(x^2+x))$ $y(x_0)=y_0$ 1) Per quali dati iniziali vale il teorema di esistenza e unicità locale? Se considero $f(x,y)=(y^2+2y)/(2*(y+1)*(x^2+x))$ e calcolo la derivata parziale rispetto ad y della f(x,y) $f_y=(y^2+2y+2)/(2*(y+1)^2*(x^2+x))$ $=>$ $x!=-1,0, y!=-1 $ Scrivere questo non so se è proprio corretto. Calcolo per prima cosa il dominio: $2*(y+1)*(x^2+x)!=0$ $=>$ $x!=-1,0, y!=-1 $ Il dominio è dato da ...

Ho l'operatore $A:f(x)\rightarrow \int_{0}^{x}f(t)\text{d}t$. Devo calcolarne l'operatore aggiunto. Allora \[ \langle A^{\dagger}f,g \rangle = \langle f,A g \rangle =\int_{0}^{1}\text{d}x\overline{f(x)}(\int_{0}^{x}\text{d}tg(t))= \int_{0}^{1}\text{d}x(\int_{0}^{x}\text{d}t\overline{f(x)}g(t))= \int_{0}^{1}\text{d}t(\int_{t}^{1}\text{d}x\overline{f(x)}g(t)) \] Mentre io avrei fatto \[ \langle A^{\dagger}f,g \rangle = \langle f,A g \rangle =\int_{0}^{1}\text{d}x\overline{f(x)} ...

ciao a tutti, vorrei chiedervi una cosa banale, ma sono un po' arrugginito e non capisco come risolvere la cosa: mi si presenta il seguente limite $ lim_(x -> +oo ) e^{-2x} (cos (x) + cos (2x)) + 1/8 (cos(x) + sen(x)) $ e $ lim_(x -> -oo ) e^{-2x} (cos (x) + cos (2x)) + 1/8 (cos(x) + sen(x)) $ . nel primo caso mi si dice che è limitato su R+ , mentre nel secondo caso mi si dice che il limite non esiste. ora, nel primo caso quello che so è che e^(-2x) per x che tende a + infinito tende a zero, mentre la funzione tra parentesi oscilla, quindi quel pezzo tende a zero. ma per il secondo pezzo, non ho ...

Ragazzi, non riesco a scomporre questo integrale in quanto non riesco a capire a quale regola di integrazione usare per rsolverlo. Penso che si debba risolvere per scomposizione ma non ne cavo piede causa lacune goniometriche. Mi potete aiutare? $int (cos2x)/(sinx - cosx) dx$

Salve, ho da calcolare questo limite: t --> +00 di e^( t * (1/T + j*2*pi*f) ) dove: T indica un periodo f una frequenza pi = pigreco Io lo saprei fare se vi fosse un numero reale come coefficiente di t, ma con un numero complesso come si fa?

$1.$ Devo mostrare che una funzione $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C}$ a supporto compatto e limitata quasi ovunque è p-sommabile. La funzione è definita quindi su un insieme del tipo $[-K,K]$. Direi, ma non so se è giusto scritto così: \[ ||f||_{p}^{p}=\int_{-K}^{K}|f(x)|^{p}dx \leq sup|f(x)|^{p}\int_{-K}^{K}dx\leq sup|f(x)|^{p}2K

Ragazzi devo scrivere l'equazione parametrica di questa circonferenza nel piano complesso: $\|z|=1$ con $\Imz<=0$ Dato che la $\y$ è negativa...l'equazione della circonferenza complessa la devo scrivere cosi: $\e^{-it}$ con $\ 0<t<pi$ oppure : $\e^{it}$ con $\ 0<t<pi$ ????? Grazie!!!