Analisi matematica di base
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1.26 Let $\{f_{n}\}$ be a sequence of measurable functions on $X$, and suppose that
(a) $0<=f_{1}(x)<=f_{2}(x)<=...<=\infty \forall x \in X$
(b) $f_{n}(x)->f(x)$ as $n->\infty\forall x \in X$
Then $f$ is measurable, and
\[ \int_{X}f_{n}d\mu \rightarrow \int_{X}fd \mu\ \ \text{as}\ \ n\rightarrow \infty \]
PROOF Dato che
\[f_{n}\leq f_{n+1}\Rightarrow \int f_{n}\leq \int f_{n+1}=a_{n+1}\in [0,\infty]\]
abbiamo una successione monotona crescente $\{a_{n}\}$ che ammette quindi limite ...
Il modello di Gompertz per la crescita di una popolazione prevede un modello del tipo: $dx/dt = a_0*e^(-kt)*x$
Per capire se il modello presenta un punto di flesso, occorrerebbe evidentemente conoscere la derivata di questa funzione. Tuttavia io che, per problemi vari, non ho seguito il corso di Analisi II, non saprei neanche da che parte cominciare. Bisogna fare la derivata della funzione rispetto al tempo e cos'altro?
Ringrazio chiunque abbia la cortesia e la pazienza di aiutarmi.
Vorrei determinare per quali valori di $0<\alpha<1$ la seguente serie a termini di segno alterno converge.
$\sum_{n=2}^\infty log(1+(-1)^n/(n^\alpha))$.
Ho provato a utilizzare il criterio di Leibnitz però per $0<\alpha<1$, i termini della serie in valore assoluto non costituiscono una successione monotona decrescente. Il criterio di Leibnitz si può applicare solo per $\alpha>=1$.
In quale altro modo si potrebbe studiare la convergenza della serie da me proposta?
Salve,non riesco a risolvere il seguente esercizio:
Assegnate $f(x)=(x^2-1)(x^2+1)$ e $g(x)=(x^2-1)^2$, riconoscere che esistono $x € [-1,1]$ in cui $f'(x)=g'(x)$.
Come posso procedere?Non saprei da dove partire.Grazie.
devo mostrare che questa serie converge uniformemente in ogni intervallo limitato
$sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n (x^2+n)/n^2$
ho pensato di calcolare Sup $|f_n(x)-s_n(x)|$ per $x in [a,b]$ cioè Sup $|sum_(k=n+1)^(+oo) (-1)^k (x^2+n)/k^2|$ che è $<=$ Sup$ sum_(k=n+1)^(+oo) (x^2+n)/k^2$ (°)
ora le $f_n(x)=(x^2+n)/n^2$ sono decrescenti xchè se calcolo la derivata prima rispetto a n ottengo $-(n+2x^2)/n^3$ che è minore di 0
quindi posso dire che (°) è $<=$ di Sup $(x^2+n+1)/(n+1)^2$?
Ciao a tutti ragazzi. Sono alle prese con un problema di Cauchy.
$y'(t)=(y^2+2y)/(2*(y+1)*(x^2+x))$
$y(x_0)=y_0$
1) Per quali dati iniziali vale il teorema di esistenza e unicità locale?
Se considero $f(x,y)=(y^2+2y)/(2*(y+1)*(x^2+x))$ e calcolo la derivata parziale rispetto ad y della f(x,y)
$f_y=(y^2+2y+2)/(2*(y+1)^2*(x^2+x))$ $=>$ $x!=-1,0, y!=-1 $ Scrivere questo non so se è proprio corretto.
Calcolo per prima cosa il dominio: $2*(y+1)*(x^2+x)!=0$ $=>$ $x!=-1,0, y!=-1 $
Il dominio è dato da ...
Ho l'operatore $A:f(x)\rightarrow \int_{0}^{x}f(t)\text{d}t$. Devo calcolarne l'operatore aggiunto. Allora
\[
\langle A^{\dagger}f,g \rangle = \langle f,A g \rangle =\int_{0}^{1}\text{d}x\overline{f(x)}(\int_{0}^{x}\text{d}tg(t))=
\int_{0}^{1}\text{d}x(\int_{0}^{x}\text{d}t\overline{f(x)}g(t))=
\int_{0}^{1}\text{d}t(\int_{t}^{1}\text{d}x\overline{f(x)}g(t))
\]
Mentre io avrei fatto
\[
\langle A^{\dagger}f,g \rangle = \langle f,A g \rangle =\int_{0}^{1}\text{d}x\overline{f(x)} ...
ciao a tutti, vorrei chiedervi una cosa banale, ma sono un po' arrugginito e non capisco come risolvere la cosa:
mi si presenta il seguente limite $ lim_(x -> +oo ) e^{-2x} (cos (x) + cos (2x)) + 1/8 (cos(x) + sen(x)) $ e $ lim_(x -> -oo ) e^{-2x} (cos (x) + cos (2x)) + 1/8 (cos(x) + sen(x)) $ .
nel primo caso mi si dice che è limitato su R+ , mentre nel secondo caso mi si dice che il limite non esiste.
ora, nel primo caso quello che so è che e^(-2x) per x che tende a + infinito tende a zero, mentre la funzione tra parentesi oscilla, quindi quel pezzo tende a zero. ma per il secondo pezzo, non ho ...
Ragazzi, non riesco a scomporre questo integrale in quanto non riesco a capire a quale regola di integrazione usare per rsolverlo. Penso che si debba risolvere per scomposizione ma non ne cavo piede causa lacune goniometriche. Mi potete aiutare?
$int (cos2x)/(sinx - cosx) dx$
Salve, ho da calcolare questo limite:
t --> +00 di e^( t * (1/T + j*2*pi*f) )
dove:
T indica un periodo
f una frequenza
pi = pigreco
Io lo saprei fare se vi fosse un numero reale come coefficiente di t, ma con un numero complesso come si fa?
$1.$ Devo mostrare che una funzione $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C}$ a supporto compatto e limitata quasi ovunque è p-sommabile. La funzione è definita quindi su un insieme del tipo $[-K,K]$. Direi, ma non so se è giusto scritto così:
\[
||f||_{p}^{p}=\int_{-K}^{K}|f(x)|^{p}dx \leq sup|f(x)|^{p}\int_{-K}^{K}dx\leq sup|f(x)|^{p}2K
Ragazzi devo scrivere l'equazione parametrica di questa circonferenza nel piano complesso:
$\|z|=1$ con $\Imz<=0$
Dato che la $\y$ è negativa...l'equazione della circonferenza complessa la devo scrivere cosi:
$\e^{-it}$ con $\ 0<t<pi$
oppure :
$\e^{it}$ con $\ 0<t<pi$
?????
Grazie!!!
Salve a tutti.
Devo calcolare il seguente limite, dove $f:RR->RR$ è una funzione continua e ${x_n}$ una successione reale infinitesima:
$ lim_(n -> +oo) int_(0)^(x_n) f(t)dt $
l'unica idea che mi è venuta in mente è usare il teorema di monotonia integrale essendo la funzione integranda $f = 1$ maggiore di $0$ ma minore o uguale a $1$, passare agli integrali (con gli stessi estremi) che hanno lo stesso ordinamento, calcolare il terzo che è una scemenza che ...
Ciao,
spero di non aver sbagliato sezione.
Potete per favore dirmi come si semplifica questa sommatoria?
\[ \sum_{k=0}^m (k*x^{k}) \]
So che
\[ \sum_{k=0}^{m} x^k \]
è la serie geometrica, che diventa quindi
\[ (1-(x^{m+1}))/(1-x) \]
ma non saprei come fare visto che c'è anche il prodotto con k.
Oppure se si trasforma la formula iniziale in:
\[ x\sum_{k=0}^m (k*x^{k-1}) \]
salta fuori qualcosa di interessante,di noto?
Grazie in anticipo per l'aiuto
Cari amici,
sapreste dimostrarmi la derivata di 2^x?
Appena dopo aver il limite del rapporto incrementale, non so più cosa fare..
Si consideri: $n\int_{0}^{1/n}f(x)dx$
Allora (mi dice il testo) quell'espressione, per $n$ sufficientemente grande, è uguale a $f(1/{2n})+O(n^{-2})$, come si può vedere applicando l'espansione di Taylor per l'integrando $f$.
Io però non riesco a vederlo..
ciao a tutti.. mi è sorto un dubbio: ma le stime asintotiche si possono sempre usare in qualsiasi tipologia di limite ci troviamo?
per esempio io ho questo limite: $ lim_(x -> 0) log(5x^2-3x+2^x)/sin(3x) $
mi verrebbe da dire che il numeratore tende a $-oo$ perchè prendo in considerazione solo $log(5x^2)$ mentre il denominatore tende a $0$ ..ma mi sa tanto che è sbagliato..
grazie
provare l'unicità dello sviluppo in serie di potenze di una funzione \(\displaystyle f(z) \), calcolare \(\displaystyle f^{(20)}(0) \) dove \(\displaystyle f(z) = \frac{7z^4}{(1-z)^2} \) ho proceduto così, poichè per \(\displaystyle |z|\le 1 \) risulta \(\displaystyle \frac{1}{(1-z)^2} = D(\frac{1}{1-z}) = \sum_{n=1}^\infty nz^{n-1} \), quindi avrò che \(\displaystyle f(z) = \sum_{n=1}^\infty 7nz^{n+3} \), ora ho un po' di dubbi su come calcolare \(\displaystyle f^{(20)}(0) \), so che ...
Salve a tutti! Vi chiedo aiuto per la risoluzione di questo problema di Cauchy:
\[ \displaystyle y'(x)=\frac{1}{cos(y(x))} \]
con condizione iniziale\[ \displaystyle y(0)=\pi.\]
A me risulta \( y(x)=-\arcsin (x)+\pi\), ma sugli appunti la soluzione riportata e`\(y(x)=\arcsin (x)+\pi\). Qualcuno mi saprebbe spiegare la ragione della differenza di segno? Grazie!
studiare in campo complesso la serie \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{e^{ikz^2}}{k^3} \), procedo applicando la sostituzione \(\displaystyle x = e^{iz^2} \) la serie così è riconducibile ad una serie di potenze di raggio R = 1, dunque la serie converge puntualmente e assolutamente per \(\displaystyle |t|1 \), ora vorrei che qualcuno mi spiegasse perchè la condizione di convergenza totale(cioè uniforme, puntuale, assoluta) è data da \(\displaystyle ...
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