Derivata di una funzione

[Uqbar]

Il modello di Gompertz per la crescita di una popolazione prevede un modello del tipo: $dx/dt = a_0*e^(-kt)*x$

Per capire se il modello presenta un punto di flesso, occorrerebbe evidentemente conoscere la derivata di questa funzione. Tuttavia io che, per problemi vari, non ho seguito il corso di Analisi II, non saprei neanche da che parte cominciare. Bisogna fare la derivata della funzione rispetto al tempo e cos'altro?

Ringrazio chiunque abbia la cortesia e la pazienza di aiutarmi.

[chiaraotta1]

Mi sembra che, se
$(dx(t))/(dt) = a_0*e^(-kt)*x(t)$,
allora
$(d^2x(t))/(dt)^2=a_0*[-k*e^(-kt)*x(t)+e^(-kt)*(dx(t))/(dt)]=a_0*e^(-kt)*[-k*x(t)+a_0*e^(-kt)*x(t)]=$
$a_0*e^(-kt)*x(t)*[-k+a_0*e^(-kt)]$.
Quindi
$(d^2x(t))/(dt)^2=0->x(t)=0 vv -k+a_0*e^(-kt)=0->e^(kt)=a_0/k->t=1/k*ln(a_0/k)$, con $a_0$ e $k$ $>0$.

[Uqbar]

Mille grazie, Chiara. Sei stata gentilissima e puntualissima (:

Solo una cosa: qual è l'algoritmo di massima per derivare una espressione del genere? Detta in soldoni, cosa bisogna derivare, per cosa bisogna moltiplicarlo, etc? Sono molto arrugginito con l'analisi...

[chiaraotta1]

Ho semplicemente calcolato la derivata di $(dx(t))/(dt) = a_0*e^(-kt)*x(t)$:
$D[(dx(t))/(dt)] = D[a_0*e^(-kt)*x(t)]=a_0*D[e^(-kt)*x(t)]=a_0*{D[e^(-kt)]*x(t)+e^(-kt)*D[x(t)]}=$
$a_0*{-k*e^(-kt)*x(t)+e^(-kt)*a_0*e^(-kt)*x(t)}=a_0*e^(-kt)*x(t)*{-k+a_0*e^(-kt)}$.

[Uqbar]

Ancora grazie! Le derivate delle funzioni in cui una delle variabili dipende da un'altra non mi sono tanto familiari.