Stime asintotiche: si possono usare sempre?

[rizzellidj]

ciao a tutti.. mi è sorto un dubbio: ma le stime asintotiche si possono sempre usare in qualsiasi tipologia di limite ci troviamo?

per esempio io ho questo limite: $ lim_(x -> 0) log(5x^2-3x+2^x)/sin(3x) $

mi verrebbe da dire che il numeratore tende a $-oo$ perchè prendo in considerazione solo $log(5x^2)$ mentre il denominatore tende a $0$ ..ma mi sa tanto che è sbagliato..

grazie

[Plepp]

Ciao
Sinceramente non capisco con quale criterio hai applicato quella stima
Io procederei cosi:
\[\dfrac{\log(5x^2-3x+2^x)}{\sin(3x)}=\dfrac{\log(5x^2-3x+2^x+1-1)}{\sin(3x)}\]
Ora hai che, per $x\to 0$,
\[\sin(3x)\sim 3x\qquad \qquad 2^x-1\sim x\log 2\]
da cui
\[\dfrac{\log(5x^2-3x+2^x+1-1)}{\sin(3x)}\sim \dfrac{\log(5x^2-3x+1+x\log 2)}{3x}\]
Ora $\varepsilon(x)=5x^2-3x+x\log 2$ è infinitesima per $x\to 0$ e pertanto puoi utilizzare la stima
\[\log(\varepsilon(x)+1)\sim\varepsilon(x)\]
quindi
\[\dfrac{\log(5x^2-3x+1+x\log 2)}{3x}\sim\dfrac{5x^2-3x+x\log 2}{3x}\]
e adesso ti calcoli il limite, che dovrebbe essere $(\log 2)/3-1$. Ciao