Analisi matematica di base

Ecco un piccolo caveat su cui oggi mi sono bloccato per un'ora buona (!). Prendiamo due funzioni \(\phi,\psi\in C^1(\mathbb{R})\): allora sappiamo che \[\frac{d(\phi \psi)}{dx}=\frac{d\phi}{dx}\psi+\phi\frac{d\psi}{dx}.\] Ora se \(\phi\in C^{\infty}(\mathbb{R})\) e \(T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})\) è ben definito il prodotto \(\phi T\): ebbene, per esso la formula precedente parrebbe non valere. Ad esempio è corretto \[\frac{d(\phi \delta)}{dx}=\frac{d(\phi(0)\delta)}{dx}=\phi(0)\delta', ...

ciao a tutti, ho il seguente esercizio da risolvere: data la funzione f: R-->R definita da f(x) = (1/5)sen(exp(exp(x))) , si consideri il problema di cauchy $ { ( x'=f(x) ),( x(0)= x0:} $ , allora 1) f è sublineare e il problema di cauchy ammette un'unica soluzione per ogni x0 appartenente ad R 2) f non è globalmente lipschitz ma il problema di cauchy ammette un'unica soluzione su tutto R per ogni x0 appartenente a R. io ho cominciato ad applicate le ipotesi del teorema di cauchy locale e ho trovato: - ...

Calcolare l'integrale con un errore inferiore a $10^-2$ $\int_0^1cos^2(1/sqrt(x))\ $ $cos(1/sqrt(x))^2 = 1/2 + cos(2/sqrt(x))$ grazie alle formule di duplicazione dopo ho considerato lo sviluppo del coseno, precisamente $cos(2/sqrt(x))= \sum_{n=0}^(+oo) (-1)^n/((2n)!)(2/sqrt(x))^(2n)$ Porto fuori la serie e dopo calcolo l'integrale in x ovvero: $\int_0^1 x^(-n)\ $ ottendo così la serie $\sum_{n=0}^(+oo) (-1)^n/((2n)!)4^n1/(-n+1)$ Qui devo verificare se per Leibniz la serie converge. se il ragionamento e i calcoli sono giusti, come faccio poi a trovare il valore dell'integrale? basta fare ...

Salve, è giusto dire che $y=8e^x$, $x in RR$ (per esempio) rappresenta un'equazione funzionale (molto semplice in questo caso)?

Ho un dubbio relativo alle funzioni lipchitziane. Spesso leggo che se una funzione è lipchitziana equivale a chiedere che la funzione ha derivata limitata( e questo è comprensibile perchè i rapporti incrementali devono essere limitati e di qui la derivata)., ma leggo anche che se una funzione è lipchitziana però in un intorno( cioè non per $x in RR$ ma per $x in I$ ) allora equivale a richiedere che la derivata della funzione sia continua.. che nesso c'è??

Ciao ragazzi, uno dei problemi di cui si occupa la mia tesi di laurea magistrale riguarda le oscillazioni assialsimmetriche dei gusci sferici. Nel sistema di equazioni differenziali che ho ricavato, una delle equazioni è "disaccoppiata" dal resto, ed è la seguente equazione omogenea: \(g''(\theta)+\cot\theta\,g'(\theta)+ \left(K-\cot^2 \theta\right)g(\theta) = 0\) con \(K\) costante positiva nota. Ho bisogno di una soluzione in forma chiusa, ma siccome i coefficienti sono variabili, è ...

Salve a tutti. Sarà l'ora ma sto cercando di capire (invano) il teorema che mi dice che una funzione continua è misurabile. Vi dico quale è il mio problema. Nel libro c'è scritta la seguente: Ogni funzione $ f:E sube R^n->R $ continua è misurabile. Ciò segue dal fatto che, $ AA tinR $ l'insieme $ E={ x in X:f(x)>t } $ è un aperto, quindi misurabile: infatti, se $ f(x')>t $ , per il teorema della permanenza del segno esiste un intorno di $ x' $ tale che $ f(x)>t $ e ...

ciao a tutti!! nella dimostrazione del teorema di brouwer per i punti fissi mi sono ritrovata davanti qst pezzo di dimostrazione che nn m è molto chiara... bisogna dimostrare che una data funzione $f_t = x + t f_a(x)$ è suriettiva dove: $f_t :A \rightarrow A_t$, $A_t = \{ x \in R^n : 1/2 sqrt(1+t^2) \leq ||x|| \leq 3/2 sqrt(1+t^2) \}$ e $ A = { x \in R^n : 1/2 \leq ||x|| \leq 3/2 \}$ Inoltre $ f_a :A \rightarrow R^n $ è definita mediante la legge $f_a(x) = ||x||f(\frac{x}{||x||})$ con f funzione del teorema dalla palla unitaria in se. tra le ipotesi abbiamo anche che $|t|< 1/3$. La linea della ...

devo calcolare questo integrale con un errore inferiore a $10^-2$ $int_(0)^(pi/2) (1-cosx)/x dx$ cos x=$sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n x^(2n)/((2n)!)$ e quindi posso scrivere$ (1-cosx)/x=sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n+1) x^(2n-1)/((2n)!)$ $int_(0)^(pi/2) sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n+1) x^(2n-1)/((2n)!) dx=sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n+1) 1/((2n)!) int_(0)^(pi/2) x^(2n-1) dx$ volevo sapere se è giusto per proseguire il calcolo

Salve a tutti. Devo calcolare questi due integrali: $ int_( )^( ) xsinx(cos^2x) dx$ $ int_( )^( ) (xtgx)/(cos^2x) dx$ ho provato per parti ... ma per il primo i calcoli sono lunghissimi, per il secondo ottengo un'identità. Avete qualche suggerimento ? Grazie anticipatamente

Salve, trovo delle difficoltà nello svolgere due limiti di successione, ieri stavo con un mio amico e c'abbiamo perso tutto il pomeriggio senza venirne a capo. Senza che vi mostro tutto il limite, vi dico che non siamo riusciti a capire perchè \(\displaystyle n!7^{n!}\) va più velocemente ad infinito di \(\displaystyle -5^{(n+1)!} \) oppure, molto analogo \(\displaystyle n!7^{n(n+1)} \) è meno veloce di \(\displaystyle 4^{(n+1)!} \), scusate il disturbo

dovrei derivare due volte questa funzione \(\displaystyle f(x) = \sin (x*\left| x \right|) \) grazie al suggerimento di prima so che si risolve cosi \(\displaystyle f(x) = \left\{ {_{\sin ( - x)\;\;se\,x < 0}^{\sin x\quad \quad se\,x \ge 0}} \right. \) quindi \(\displaystyle f'(x) = \left\{ {_{ - \cos x\;\;\;\;\;se\,x < 0}^{\cos x\quad \quad se\,x \ge 0}} \right. \) allora \(\displaystyle f''(x) = \left\{ {_{ - \sin x\;\;\;\;\;se\,x < 0}^{\sin x\quad \quad se\,x \ge 0}} \right. ...

Buonasera. Risolvendo un'equazione complessa mi sono ritrovato con le seguenti soluzioni: $z = 0$ e $ { ( x = cos(2y) ),( y - sin(2y) = 0 ):}$ (ove $z = x + i y$) Ho qualche difficoltà di interpretazione. Dalla seconda equazione del sistema si può concludere che $y = cc(I)m (z)$ ha 3 soluzioni (graficamente...). $cc(I)m (z) = 0, y_1 , y_2$. Corrispondentemente, dalla prima equazione: $ cc(R)e (z) = 1 , cos(2y_1) , cos(2 y_2)$. Allora le soluzioni sono: $ { ( z_1 = 0),( z_2 = 1 ),( z_3 = cos(2 y_1) + i y_1 ),( z_4 = cos(2 y_2) + i y_2 ):}$ Giusto?

Lunedì ho sostenuto la prova scritta dell'esame in oggetto e ora settimana prossima dovrò sostenere la prova orale. Prima però vorrei sapere se e cosa ho sbagliato della prova.. (***Le risposte sotto questo post sono state fatte ad un quesito precedente***) La funzione da studiare era questa: $text{Stabilire per quali valori dei paramentri non negativi a,b la funzione:}$ $f(x)={((|x|^a*|y|^b)/(x^2+y^2),if (x;y)!=(0;0)),(0,if (x;y)=(0;0)):}$ $text{è continua nell'origine, derivabile nell'origine in ogni direzione, differenziabile nell'origine.}$ $text{Continuità:}$ Ho calcolato i limiti per gli assi cartesiani e per la retta $y=m*x$. Se per gli assi cartesiani il risultato è ...

Salve ragazzi, posto qui perchè il mio è un problema matematico, nonostante si parli di Fisica. Un po di tempo fa ho studiato il moto armonico. Il testo e il docente affermano che la legge oraria di tale moto è \[x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)\qquad (1)\] con $A,\omega,\varphi$ costanti. Allo stesso tempo affermano che l'equazione differenziale del moto armonico è \[\dfrac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0\] le cui $\infty^2$ soluzioni sono date, nel campo reale, da \[x(t)=c_1\cos(\omega ...

Ho due parabole una simmetrica rispetto all'altra rispetto alla retta : $ y = 8 $ in particolare $ y=- 3x^2 + 6x + 8 $ e $ y= 3x^2 - 6x + 8$ sono le due parabole. Si chiede di trovare il perimetro Massimo del Rettangolo iscritto nella regione di piano delimitata tra le due parabole. Io pensavo di andare a prendere una retta $ y=k$ naturalmente con $ 8<k< 11 $ dove appunto $ 11 $ è l'ordinata Max del vertice della parabola con concavità rivolta verso il ...

Un fatto semplice semplice sulle successione, per chi vuole passare il tempo e non ha di meglio da fare... Sia $a_n:NN to RR$ una successione, e siano al variare di $l in NN$, $a_{n_k^l}$ delle sottosuccessioni tali che: i) ogni indice n della successione è raggiunto da una sottoindicizazione, i)) ogni sottosuccessione converge ad a. È vero che $a_n$ converge ad a?

dovrei trovare il max relativo di questa funzione qui \(\displaystyle f(x) = \sqrt x |\log x| \) derivata mi viene questo \(\displaystyle f '(x) = \frac{{|\log x|}}{{2\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x |\log x|}}{{x|\log x|}} \) posto f'(x)=0 per trovare il punto stazionario faccio questo \(\displaystyle f'(x) = \frac{{|\log x|}}{{2\sqrt x }} + \frac{{|\log {x^{\sqrt x }}|}}{{|\log {x^x}|}} \) avendo la stessa base elimino i log facendo questo \(\displaystyle \frac{{|x|}}{{{e^{2\sqrt x }}}} + ...

Ciao a tutti... se io ho un equazione differenziale generale, non omogenea, a una variabile, per es. del secondo ordine (ma non necessariamente) e riesco a trovare la soluzione particolare di questa equazione (qualunque sia la funzione a destra dell'uguale) e, inoltre, questa soluzione particolare soddisfa le condizioni iniziali, come mai la "soluzione totale" dell'equazione è proprio quella particolare? Mi potreste motivare bene questo fatto? Spero di essermi spiegata bene. Grazie ...

Qui un altro esercizio con il quale ho difficoltà ad individuare il grafico e quindi la trasformata. Qui c'è la traccia con la relativa soluzione Ho iniziato con il tracciare il grafico per la funzione descritta ma sono incerto su come devo interpretare la traccia. http://imageshack.us/photo/my-images/28/periodi.jpg/ Ho tracciato i grafici per entrambe le possibili interpretazioni e ho sviluppato le funzioni nel dominio del tempo e della frequenza per entrambi i casi. Nel caso di sinistra ho: \(\displaystyle ...