Espansione di Taylor per un integrale
Si consideri: $n\int_{0}^{1/n}f(x)dx$
Allora (mi dice il testo) quell'espressione, per $n$ sufficientemente grande, è uguale a $f(1/{2n})+O(n^{-2})$, come si può vedere applicando l'espansione di Taylor per l'integrando $f$.
Io però non riesco a vederlo..
Allora (mi dice il testo) quell'espressione, per $n$ sufficientemente grande, è uguale a $f(1/{2n})+O(n^{-2})$, come si può vedere applicando l'espansione di Taylor per l'integrando $f$.
Io però non riesco a vederlo..
Risposte
Prova a fare lo sviluppo di Taylor della funzione seguente $F(x)=1/x \int_0^x f(t)\ dt$ e vedi cosa succede quando vai a considerare $x=1/n$.
Ciao, grazie anzitutto per la risposta.
Allora, fissato un punto $x_0$ si ha:
$F(x)=F(x_0)+F'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$
$=1/x_0\int_0^{x_0}f(t)dt+(-1/{x_{0}^{2}}\int_0^{x_0}f(t)dt+1/{x_0}f(x_0))(x-x_0)+o(x-x_0)$
Ma ancora non riesco a vedere il risultato del testo (che effettivamente ho controllato essere vero computazionalmente, prendendo come prova $f(x)=e^x$ e $f(x)=sin(x)$). Cioè, non riesco proprio a capire come $1/{2n}$ possa diventare l'argomento di $f$ nell'espansione..
Allora, fissato un punto $x_0$ si ha:
$F(x)=F(x_0)+F'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$
$=1/x_0\int_0^{x_0}f(t)dt+(-1/{x_{0}^{2}}\int_0^{x_0}f(t)dt+1/{x_0}f(x_0))(x-x_0)+o(x-x_0)$
Ma ancora non riesco a vedere il risultato del testo (che effettivamente ho controllato essere vero computazionalmente, prendendo come prova $f(x)=e^x$ e $f(x)=sin(x)$). Cioè, non riesco proprio a capire come $1/{2n}$ possa diventare l'argomento di $f$ nell'espansione..
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