Scambio ordine di integrazione

[5mrkv]

Ho l'operatore $A:f(x)\rightarrow \int_{0}^{x}f(t)\text{d}t$. Devo calcolarne l'operatore aggiunto. Allora
\[
\langle A^{\dagger}f,g \rangle = \langle f,A g \rangle =\int_{0}^{1}\text{d}x\overline{f(x)}(\int_{0}^{x}\text{d}tg(t))=
\int_{0}^{1}\text{d}x(\int_{0}^{x}\text{d}t\overline{f(x)}g(t))=
\int_{0}^{1}\text{d}t(\int_{t}^{1}\text{d}x\overline{f(x)}g(t))
\]

Mentre io avrei fatto

\[
\langle A^{\dagger}f,g \rangle = \langle f,A g \rangle =\int_{0}^{1}\text{d}x\overline{f(x)} (\int_{0}^{x}\text{d}tg(t))=
\int_{0}^{1}\text{d}x (\int_{0}^{x}\text{d}t\overline{f(x)}g(t))=
\int_{0}^{x}\text{d}t(\int_{0}^{1}\text{d}x\overline{f(x)}g(t))
\]
E giustificato il primo cambio $x=1$ dicendo che si tratta pur sempre di un prodotto scalare e deve andare da $0$ a $1$, mentre non capisco perché pone $t=0$, in che modo è collegato a $g(t)$?

[gugo82]

Usando Fubini (che dovresti verificare se è lecito, ma credo di sì), trovi:
\[
\tag{1} \begin{split}
\langle f, Ag \rangle &= \int_0^1 \overline{f(x)}\ \left(\int_0^x g(t)\ \text{d} t\right)\ \text{d} x \\
&= \int_0^1 \overline{f(x)} \left(\int_0^1 \chi_{[0,x]}(t)\ g(t)\ \text{d} t\right)\ \text{d} x\\
&= \int_0^1\int_0^1 \overline{f(x)}\ \chi_{[0,x]}(t)\ g(t)\ \text{d} x\ \text{d} t\\
&= \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 \chi_{[0,x]} (t)\ \overline{f (x)}\ \text{d} x\right)\ \text{d} t\; ;
\end{split}
\]
ma per \((x,t)\in [0,1]\times [0,1]\) è:
\[
\chi_{[0,x]} (t) := \begin{cases} 1 &\text{, se } x\geq t \\ 0 &\text{, se } x \]
quindi:
\[
\tag{2} \int_0^1 \chi_{[0,x]} (t)\ \overline{f (x)}\ \text{d} x = \int_t^1 \overline{f(x)}\ \text{d} x
\]
ed infine, sostituendo (2) nell'ultimo membro di (1), trovi:
\[
\begin{split}
\langle f, Ag \rangle &= \int_0^1 g(t) \left( \int_t^1 \overline{f(x)}\ \text{d} x\right)\ \text{d} t\\
&= \langle A^\dagger f, g\rangle
\end{split}
\]
con:
\[
A^\dagger f := \int_t^1 \overline{f(x)}\ \text{d} x\; .
\]
Quello di inserire le funzioni caratteristiche e di usare Fubini è un trucco molto utile quando hai a che fare con operatori contenenti integrali con estremi variabili.

[5mrkv]

Accidenti, è proprio una cosa "particolare", grazie.