Analisi matematica di base
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questo è il primo esercizio che faccio sugli sviluppi in serie di Laurent,quindi siate buoni =)
allora ho da sviluppare $f(z)=(z-sinz)/z$ in $z_0=0$
$=[z-(z-z^3/3!+z^5/5!+...)]/z^5$=$[1/(3!z^2)-1/5!+z^2/7!+....]=\sum_{k=-1}^(+oo) ((-1)^(k+1)z^(2k))/((2k+5)!)$
e fin qui ci siamo...poi mi dice che tutta la roba sopra è uguale a =
$\sum_{k=-2}^(+oo)cos[(n\pi/2+\pi)](1/(n+5)!)z^n$ questo da dove esce?
e poi dice=lo sviluppo di Laurent,centrato in $z_0=0$, di f(z) ha tutti i coefficienti $c_n$ nulli per $n<-2$, c_2=$1/(3!)$ e infiniti ...
devo trovare l'aperto di olomorfia della seguente funzione \(\displaystyle f(z) = log(i(z-1)) \), come si procede di solito? Inoltre come faccio a stabilire se in tale insieme la funzione ammette primitiva?
Sto cercando di risolvere il seguente integrale :
$\int \frac{x^4-2x^3+3}{\sqrt{x^3+2x+15}}$
Qualcuno può darmi qualche dritta ?
Primo dubbio, alquanto sciocco, ma non mi è stato dimostrato a lezione e quindi non sono sicuro che sia vero (anche se banale). Chi me lo dice che l'inverso di una funzione che tende ad infinito deve tendere a 0? cioè chi mi dice che $f(x)\to\infty\Rightarrow 1/f(x)\to 0$?
Seconda domanda
$\lim_{x\to x_0} a^x/x^\beta=\infty$
con $a\ne 1,a>0$.
Per ogni $K>0$ vediamo quando si verifica $a^x/x^\beta>K$ (voglio trovarmi l' $x_0$ tale che per ogni x>x_0$ quella disuguaglianza sia verificata). E un ...
Non sono molto convinto del mio ragionamento.
Si vuole dimostrare che le funzioni continue mandano compatti in compatti
Supponendo:
$K sube R^n $ compatto
ed $f:K->R$ una funzione continua.
Tesi:
$f(k)$ è un compatto.
dim:
Visto che la funzione è continua sicuramente posso prendere in considerazione la successione $y_j in f(k)$ ed $x_j in K$ entrambe convergenti.
è quindi
$f(x_j)=y_j$
dato che la funzione è definita in un insieme compatto per ...
Mi è sorto uno stupido dubbio sulla disuguaglianza \[\displaystyle \log(x+1) < x \qquad \forall \; x>0 \]
Se considero infatti la successione \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \), positiva \(\displaystyle \forall \; n \in \mathbb{N} \), posso affermare che \[\displaystyle \log(a_{n} + 1) < a_{n} \qquad \forall \; n \in \mathbb{N} \]
in quanto il termine ennesimo della successione è comunque un numero reale, giusto?
$sum_(n=0)^(+oo) x^2/(x^a+n^a)$ $AA x in R^+$ e $AA a in R^+$
il termine generale è asintotico a $x^2/n^a$ e la serie converge puntualmente per a>1
per la convergenza uniforme ho calcolato la derivata prima che si annulla in $ root(a)((-2n^a)/(2-a)) $.questo è un massimo per a>2?
Ciao a tutti, ho un dubbio sulla risoluzione di questo esercizio. Per favore controllate se non ho sbagliato qualcosa, perchè mi pare strana la conclusione finale. Grazie in anticipo
Determinare il carattere della serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{\frac{\ln (3^n)}{6}n^2}{\sqrt{n}} \)
l'ho svolta così
\(\displaystyle a_n=(-1)^n \frac{\frac{\ln (3^n)}{6}n^2}{\sqrt{n}}=(-1)^n\frac{\ln(3^n)}{6n^{-\frac{3}{2}}}=(-1)^n\frac{\ln 3}{6n^{-\frac{5}{2}}}\)
ora provo il criterio ...
Salve a tutti, esercitandomi ho trovato un esercizio particolarmente ostico in cui non riesco a calcolare la trasformata di Laplace correttamente.
Ho la funzione \(\displaystyle h(t)=\frac{sin(2t)}{t} \) e devo calcolare \(\displaystyle \mathcal{L}\{h(t)\} \)
ho iniziato in questo modo:
\(\displaystyle \mathcal{L}\{\frac{sin(2t)}{t}\}=\mathcal{L}\{t^{-1}sin(2t)\} \)
e secondo questa proprietà delle trasformate \(\displaystyle f(t)=t^ng(t) \rightleftharpoons ...
In $R^2$ abbiamo definito la derivata lungo una qualsiasi direzione $v!=0$ come il:
$lim_(t->0) (f(x+tv)-f(x_0))/t$ con $|t|<delta/||v||_n$
dove $x_0+tv$ è la retta passante per $x_0$ e parallela a $v$.
Al variare di $t$ ottengo tutte le retta parallele alla direzione $v$.
Il mio dubbio perché il differenziale lo trovo definito come:
$(f(x_0+h)-f(x_0)-df(x_0)(h))/||h||_n=0$ con $v in R^n,v!=0$
non dovrebbe essere
$(f(x_0+tv)-f(x_0)-df(x_0)(tv))/(|t|||v||_n)=0$ con ...
Non ho chiari alcuni passaggi nella dimostrazione di questo teorema.
Supponendo:
$E in R^n$ , $E in L$ $f:E->R$
$f in m$ , $f >=0$ ,$E_k in L$
$E_k in E_(k+1)$, $ U_(k=1 to +oo) E_k = E$
L'obiettivo è dimostrare che:
$int_E f(x)dx=lim_(k->oo) int_(E_k) f(x)dx$
ponendo $f_k=xi_(E_k) f$ e applicando il teorema di Beppo Levi è:
$lim_(k->oo) int_(E_k) f_k dx=int_E lim_(k->oo)f_k dx$ (**nel teoremi di beppo levi lo scambio non è tra integrali definiti nello stesso dominio E??**)
da ciò segue sostituendo ...
Un esercizio che, con un po' di buona volontà, può essere risolto da chiunque abbia studiato Analisi I.
Esercizio:
1. Dimostrare che la disuguaglianza:
\[
\tag{1} \max_{x\in [a,b]} |u(x)| \leq \frac{b-a}{2}\ \max_{x\in [a,b]} |u^\prime (x)|\ + \frac{1}{b-a}\ \int_a^b |u(y)|\ \text{d} y
\]
vale per ogni \(u\in C^1([a,b])\).
2. Esistono funzioni \(u\in C^1([a,b])\) che soddisfano la (1) col segno d'uguaglianza?
C'è una formula sul libro di Evans, a pagina 233 della seconda edizione, che non riesco a capire: è assegnata una funzione regolare \(u\) in \(\mathbb{R}^n\) e una ipersuperficie liscia \(\Gamma\), il cui versore normale è denotato con \(\nu\). Il libro definisce \(j\)-esima derivata normale di \(u\) in \(x^0\in \Gamma\) la cosa seguente:
\[\tag{1} \frac{\partial^j u }{\partial \nu^j}=\sum_{\lvert \alpha \rvert =j} \begin{pmatrix}j \\ \alpha \end{pmatrix}D^\alpha u ...
Mi date qualche spunto per $int(3x^2-3)/(x^4+x^2+1)dx$?
Il problema sta nel fatto che la derivata del denominatore è di terzo grado, mentre al numeratore abbiamo un polinomio di secondo...Ho provato anche a sostituire $x^2-1=t$ ma poi il differenziale mi crea problemi...Non cerco la risoluzione ma solo qualche accenno.
Salve a tutti, nonostante il calcolo della derivata sia abbastanza standard per le funzioni che si vedono nel mio esame, questo è uno di quei casi che può creare dei problemi.
Ecco la mia possibile soluzione:
$f(x)=x^x$ Può essere riscritta nella seguente forma:
$f(x)=e^(xln(x))$
Quindi $f '(x)=e^(xln(x))*(1+lnx)$
Ricordando che $e^(xln(x))=x^x$
$f '(x)= x^x*(1+ln(x))$
Il risultato è confermato dalle varie soluzioni che ho trovato sul web, però il mio procedimento sembra molto più breve e diverso ...
Salve forum,
sono riuscito a superare lo scritto di analisi 1 e adesso sto preparando l'orale che avrò tra qualche giorno.
L'unico intoppo che ho è di aver passato lo scritto con riserva, cioè dovrò affrontare un ulteriore esercizio prima di fare l'orale e solamente se è giusto svolgere l'orale vero e proprio.
Chiedo l'aiuto di qualche buon anima che abbia il tempo e la voglia di svolgere queste due serie e queste due funzioni, mi sarebbe di grande aiuto, grazie in anticipo!
1) Determinare ...
ciao a tutti ho l'integrale: $1/22int (37x+54)/(x^2-3x+4) dx$.... le radici del denominatore sono complesse e coniugate e quindi il libro dice che in questo caso tale integrale è uguale a:
$int(mx+n)/(ax^2+bx+c)dx= m/(2a)ln|ax^2+bx+c|+(2an-mb)/(2a)int 1/(ax^2+bx+c)dx$
però applicandola quando devo svolgere $(2an-mb)/(2a)$ mitrovo che al numeratore esce $108-111=-3$ invece deve uscire +3, perchè il risultato è:
$37/44ln|x^2-3x+4|+3/154sqrt7 arctg[2/7sqrt7(x-3/2)] +C$ dove sbaglio?
Ciao a tutti, questo è un esercizio da un mio tema d'esame che ho pochissime idee su come farlo.
Dimostrare o confutare
Siano \(\displaystyle f,g:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R} \) due funzioni tali che \(\displaystyle f(x)\sim g(x) \) per \(\displaystyle x\rightarrow 0^+ \) e \(\displaystyle f(x)\rightarrow -\infty \) per \(\displaystyle x\rightarrow 0^+ \). Se esiste un intorno (destro) di 0 su cui f è strettamente crescente, allora esiste un intorno (destro) di 0 su cui g è strettamente ...
Salve a tutti ragazzi, vi posto un esercizio (banale) sul quale ho avuto alcuni dubbi.
Allora l'esercizio mi diceva :
Verificare che il seguente insiemi di R è limitato.
E mi l'insieme ,
$A={(n)/(n-1) : n in NN }$
Io Ho ragionato cosi.
A limitato $hArr$ A è limitato sia superiormente che inferiormente $hArr$ ha sia dei maggioranti che dei minoranti.
Allora per mostrare che A è limitato superiormente , Ho posto a di R e ho impostato la disuguaglianza $(n)/(n-1)<=a$
e l'ho ...
Salve a tutti, dopo aver calcolato le primitive di $1/sinx$ ho provato a calcolare $\int 1/cosx dx$, incontrando qualche problema..
Ecco come ho pensato di procedere:
$\int 1/cosx dx$
Pongo $t=tg(x/2)$ quindi $x=2arctg(t)$ e $dx=2/(1+t^2)dt$, ricordando che per $t=tg(x/2)$ $cosx=(1-t^2)/(1+t^2)$
$\int (1+t^2)/(1-t^2)*2/(1+t^2) dt$
$\int 2/(1-t^2)dt$
$2\int 1/((1-t)(1+t)) dt$
$2\int 1/(1-t)*1/(1+t) dt$
Quindi cerco due numeri per avere un integrale del tipo:
$\int A/(1+t)dt+\int B/(1-t)dt$
...
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