Analisi matematica di base

Domando conferme intorno allo svolgimento del seguente: Sia \(\displaystyle f \) derivabile in \(\displaystyle x=0 \) e tale che \(\displaystyle f(0)=1 \). Mostrare che esiste \[\displaystyle \lim_{x \to 0} (f(x))^{1/x}=e^{f\; '(0)} \] Svolgimento: Allora, siccome è derivabile in \(\displaystyle x=0 \), la funzione è ivi continua, quindi \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \; f(x)=1 \). Posso affermare che \[\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h}=0 \]? Io direi di ...

Salve ragazzi. Sia $f(z)$ olomorfa in $D$ sottoinsieme di $\mathbb{C}$. Dire se e dove la funzione $h(z) = |f(z)|$ è olomorfa. Non so bene come procedere. Intanto posso scriverla come: $h(z) = sqrt( f(z) * \bar(f(z)))$ Mentre scrivevo il post per facilitarmi l'apprendimento ho provato a studiarmi prima un caso più semplice: $g(z) = \bar(f(z))$ con $f(z)$ sempre analitica in $D$. In questo caso possiamo far vedere che il limite del rapporto incrementale ...

Salve, ho notato che in alcuni libri la funzione rect(*) viene definita uguale a 0.5 nei due punti di discontinuità (di prima specie) mentre in altri nei due punti di discontinuità non viene definita. Questo nche per la funzione gradino unitario ideale, ossia nel puntò di discontinuità (di prima specie) viene definito uguale a 0.5 in alcuni libri, mentre in altri non viene definito. Perchè? Quale scelta devo fare quando analizzo un problema? Grazie.

Saluti. Domando conferma intorno allo svolgimento di due esercizi sulla continuità di funzioni. Esercizio n°1: Sia \(\displaystyle f:\mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R} \) \[\displaystyle f(x)=\begin{cases} a \cos x + \log(1-x), & x0 \end{cases} \] Ci sono valori di \(\displaystyle a \in \mathbb{R} \) tali che \(\displaystyle f \) possa essere estesa anche in \(\displaystyle x=0 \) di modo da ottenere una funzione ...

Ciao ragazzi, mi sapreste dire la definizione e le differenze tra punti stazionari ed estremi vincolati?? grazie.

Ho una dimostrazione che è davvero breve e neanche complicata, ma fa un passaggio che io proprio non riesco a capire (forse è scritto un pò male, non so), comunque il teorema è il seguente Per ogni $u$ assolutamente continua su (a,b) abbiamo $V_a^b(u)< oo$. Per dimostrarlo, prendiamo $e=1$ e $d$ tale da soddisfare la richiesta contenuta nella definizione di assoluta continuità, ovvero il d (delta) per cui $ sum_(i=1)^N(b_i-a_i)<d $ implica ...

$f(x)=xe^frac{|x|+1}{x}$ In questa funzione, dato che non ci sono asintoti orizzontali, potrebbero esserci degli asintoti obliqui. Ora, calcolando l'eventuale asintoto per $x->-oo$ trovo che $m=lim_(x->-oo)(xe^frac{-x-1}{x})/x=1/e$ mentre $q=lim_(x->-oo)xe^frac{-x-1}{x}-x/e$ se Wolfram Alpha non ha sbagliato,$=-1/e$ Il problema è che non riesco proprio a giungere al risultato che mi da il Wolfram, per quanto riguarda $q$.

La semplificazione con i fattoriali non mi è chiara in molti casi. Ad esempio,se avessi $ (n!) /( 2!(n-2)!) $ come potrei ottenere un'espressione più semplice? Lo so ch dovrei partire dalla definizione di fattoriale,quindi con$ (n+3)! $ avrei $(n+3)(n+2)(n+1)(n)!$ ,ma nel caso di $(n-3)! $non saprei proprio iniziare

Prendiamo una successione di funzioni \(K_n\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) e consideriamo la delta di Dirac \(\delta\). Ci sono due modi di convergenza possibili per \(K_n \to \delta\): [list=1][*:nyrfac0j]nel senso delle misure (*), se per ogni \(\phi\), continua e a supporto compatto, risulta \[\int_{-\infty}^\infty K_n(x)\phi(x)\, dx \to \phi(0); \][/*:m:nyrfac0j] [*:nyrfac0j]nel senso delle distribuzioni, se succede la stessa cosa ma solo per \(\phi\) di classe \(C^\infty\), oltre che ...

Raga aiutatemi a rivolvere questo integrale di termodinamica: $ int_2^1 1/Vtext{d} V = -Kt int_2^1 text{d}p $ ==> $ ln [(V2)/(V1)]=-Kt(p2-p1) $ ==> $ (V2)/(V1)= e^{-Kt(p2-p1)} $ devo ricavare Kt ....come continuo??

Salve! ho un problema con un pezzo di un esercizio di geometria differenziale. Devo scrivere l'equazione parametrica della retta tangente e della retta normale a $\beta$ in $\beta(t)$. Ho iniziato col primo punto ma mi sono bloccata perchè io so che $\beta=(3/2t-t^3,3t^2,t^3-3/2t)$. la tangente a $\beta$ è data dalla sua derivata prima ossia $\beta'=(3/2-3t^2,6t,3t^2-3/2)$ . ora non capisco come faccio ad imporre il passaggio per un punto che dipende anch'esso da t. La soluzione del mio prof dice ...

Salve ragazzi, oggi ho assistito ad un altra lezione di Fisica, ma come al solito, non posso fare a meno di vedere i discorsi che si fanno da un punto di vista matematico . Questione 1: Fino alle 10.30 circa di stamane, ero convinto che fossero equivalenti le proposizioni: (A) $\mathbf{F}$ è conservativo in $\Omega\subset RR^3$ (B) per ogni curva $\gamma$ chiusa semplice regolare a tratti e contenuta in $\Omega$ si ha che \[\oint_\gamma \mathbf{F}\cdot ...

Due questioni riguardanti essenzialmente la possibilita' di avere un esempio piu o meno concreto per chiarificarmi alcuni concetti: 1. Perche' vi e' necessita' di introdurre in L2 il concetto di derivata forte accanto a quello di derivata tradizionale? Esiste un esempio di funzione che ammetta derivata classica in ogni punto ma non abbia mai derivata forte? 2. Dacche' ho capito, quando possibile, ad ogni elemento di H^(1/2)(R) si fa corrispondere il relativo "rappresentante" tra le funzioni ...

Salve a tutti! Sto studiando Topologia e poichè è una materia abbastanza astratta ho qualche difficoltà con le dimostrazioni. Inanzitutto richiamo il concetto di punto di aderenza in topologia: Sia \(\displaystyle A\subseteqq\mathbb{R}^n, \underline x\in\mathbb{R}^n \) è aderente ad \(\displaystyle A \) se \(\displaystyle \forall\varepsilon>0 \exists \underline y\in A: d(\underline x, \underline y)

ho la seguente funzione \(\displaystyle Y(s)= \frac{sb-1}{s^2+2} \), vorrei calcolare i residui, ho proceduto in questo modo: scomponendo ottengo \(\displaystyle \frac{sb-1}{s^2+2} = \frac{As+B}{(s-\sqrt{2}i)(s+\sqrt{2}i)} \) \(\displaystyle As+B =2 Res(\frac{sb-1}{s^2+2},\sqrt{2}i)= 2lim_{s\to \sqrt2i} \frac{sb-1}{s+\sqrt2i} = \frac{\sqrt2ib-1}{\sqrt2i}\), avrei due domande. 1) il prcedimento è giusto? 2)arrivato al punto in cui ho \(\displaystyle \frac{\sqrt2ib-1}{\sqrt2i}\) come faccio a ...

Salve a tutti, volevo chiedervi una mano per il seguente esercizio. Calcolare l'integrale $int_{0}^{1} (cos sqrt(x))^2dx$ con errore inferiore a $10^-1$. Lo sviluppo in serie di McLaurin di cosx è $cosx=sum_{n=0}^{+oo}((-1)^n)/((2n)!)x^(2n)$. Quindi $cos sqrt(x)=sum_{n=0}^{+oo}((-1)^n)/((2n)!)x^(n)$ e $(cos sqrt(x))^2=(sum_{n=0}^{+oo}((-1)^n)/((2n)!)x^(n))(sum_{n=0}^{+oo}((-1)^n)/((2n)!)x^(n))$ A questo punto però non so più come andare avanti...

Salve a tutti. A breve ho un parziale di Analisi Matematica 2 (Ingegneria). Gli argomenti saranno le funzioni implicite e massimi e minimi vincolati. Per quanto riguarda le prime sono ok, per le seconde ho ancora qualche dubbio riguardo la scelta della tecnica da utilizzare per risolvere gli esercizi. I tre metodi insegnatici sono curve di livello, teorema di Lagrange e metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Ciò che mi chiedo è, a seconda del vincolo, quale di questi mi conviene scegliere come ...

Ho $u(x)\in C^{\infty}(\mathbb{R})$ e $L^2(\mathbb{R})$ e ho, per $a\in \mathbb{R}$ \[ \ddot u+(a-x^{2})u=0 \] Forse intuisco il perché, ma non capisco come mai nell'intorno dell'infinito \[ \ddot u-x^{2}u=0 \] Ho pensato a qualcosa come $|f(x)| \/ |g(x)| \rightarrow \lambda \in \mathbb{R}$ per $x \rightarrow \infty$ e posso scrivere \[ 0=f(x)=O[g(x)]\Rightarrow 0=\ddot u+(a-x^{2})u=O[\ddot u-x^{2}u] \] Ma devo verificarlo quindi \[ \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\ddot u+(a-x^{2})u}{\ddot u-x^{2}u}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\ddot u / u ...

Avrei alcuni dubbio per come calcolare il limiti di $x$ che tende a $2$ della seguente funzione: $(log(x-1))/(x^3-2x-4)$ Il mio dubbio è devo fare inizialmente il campo di esistenza di tutte la funzione nel suo insieme,ossia metto a sistema: $x>1$ con $(x^3-2x-4)!=0$? Oppure devo passare direttamente a studiare continuità e derivabilità prima del numeratore separato e poi del denominatore sempre a sè?E se è si,come faccio?Devo poi mettere a sistema la ...

Ciao a tutti, ho un dubbio sul seguente esercizio sulle EDO: Avendo l'operatore differenziale $L=(D^2+3D+9)^2$ si determinino le soluzioni di $L[y(x)]=0$ e fin qua non ho problemi. Risolvendo l'equazione caratteristica trovo le soluzioni complesse di molteciplità 2 $\lambda_{1,2}=-\frac{3}{2} +- \frac{3i\sqrt{3}}{2}$ Avendo come integrale generale: $y(x)=c_1e^{-3/2x}\cos(\frac{3\sqrt{3}}{2}x)+c_2e^{-3/2x}\sin(\frac{3\sqrt{3}}{2}x)+c_3xe^{-3/2x}\cos(\frac{3\sqrt{3}}{2}x)+c_4xe^{-3/2x}\sin(\frac{3\sqrt{3}}{2}x)$ Poi dovrei determinare le soluzioni della non omogenea $L[y(x)]=b(x)$ con $b(x)=27-108x-81x^2$ ora l'annichilatore di $b(x)$ è senz'altro ...