Analisi matematica di base
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Domande e risposte
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Prendiamo una successione di funzioni \(K_n\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) e consideriamo la delta di Dirac \(\delta\). Ci sono due modi di convergenza possibili per \(K_n \to \delta\):
[list=1][*:nyrfac0j]nel senso delle misure (*), se per ogni \(\phi\), continua e a supporto compatto, risulta
\[\int_{-\infty}^\infty K_n(x)\phi(x)\, dx \to \phi(0); \][/*:m:nyrfac0j]
[*:nyrfac0j]nel senso delle distribuzioni, se succede la stessa cosa ma solo per \(\phi\) di classe \(C^\infty\), oltre che ...
Raga aiutatemi a rivolvere questo integrale di termodinamica: $ int_2^1 1/Vtext{d} V = -Kt int_2^1 text{d}p $
==> $ ln [(V2)/(V1)]=-Kt(p2-p1) $
==> $ (V2)/(V1)= e^{-Kt(p2-p1)} $
devo ricavare Kt ....come continuo??
Salve! ho un problema con un pezzo di un esercizio di geometria differenziale. Devo scrivere l'equazione parametrica della retta tangente e della retta normale a $\beta$ in $\beta(t)$. Ho iniziato col primo punto ma mi sono bloccata perchè io so che $\beta=(3/2t-t^3,3t^2,t^3-3/2t)$. la tangente a $\beta$ è data dalla sua derivata prima ossia $\beta'=(3/2-3t^2,6t,3t^2-3/2)$ . ora non capisco come faccio ad imporre il passaggio per un punto che dipende anch'esso da t. La soluzione del mio prof dice ...
Salve ragazzi,
oggi ho assistito ad un altra lezione di Fisica, ma come al solito, non posso fare a meno di vedere i discorsi che si fanno da un punto di vista matematico .
Questione 1: Fino alle 10.30 circa di stamane, ero convinto che fossero equivalenti le proposizioni:
(A) $\mathbf{F}$ è conservativo in $\Omega\subset RR^3$
(B) per ogni curva $\gamma$ chiusa semplice regolare a tratti e contenuta in $\Omega$ si ha che
\[\oint_\gamma \mathbf{F}\cdot ...
Due questioni riguardanti essenzialmente la possibilita' di avere un esempio piu o meno concreto per chiarificarmi alcuni concetti:
1. Perche' vi e' necessita' di introdurre in L2 il concetto di derivata forte accanto a quello di derivata tradizionale? Esiste un esempio di funzione che ammetta derivata classica in ogni punto ma non abbia mai derivata forte?
2. Dacche' ho capito, quando possibile, ad ogni elemento di H^(1/2)(R) si fa corrispondere il relativo "rappresentante" tra le funzioni ...
Salve a tutti! Sto studiando Topologia e poichè è una materia abbastanza astratta ho qualche difficoltà con le dimostrazioni. Inanzitutto richiamo il concetto di punto di aderenza in topologia:
Sia \(\displaystyle A\subseteqq\mathbb{R}^n, \underline x\in\mathbb{R}^n \) è aderente ad \(\displaystyle A \) se
\(\displaystyle \forall\varepsilon>0 \exists \underline y\in A: d(\underline x, \underline y)
ho la seguente funzione \(\displaystyle Y(s)= \frac{sb-1}{s^2+2} \), vorrei calcolare i residui, ho proceduto in questo modo:
scomponendo ottengo \(\displaystyle \frac{sb-1}{s^2+2} = \frac{As+B}{(s-\sqrt{2}i)(s+\sqrt{2}i)} \)
\(\displaystyle As+B =2 Res(\frac{sb-1}{s^2+2},\sqrt{2}i)= 2lim_{s\to \sqrt2i} \frac{sb-1}{s+\sqrt2i} = \frac{\sqrt2ib-1}{\sqrt2i}\), avrei due domande.
1) il prcedimento è giusto?
2)arrivato al punto in cui ho \(\displaystyle \frac{\sqrt2ib-1}{\sqrt2i}\) come faccio a ...
Salve a tutti,
volevo chiedervi una mano per il seguente esercizio.
Calcolare l'integrale $int_{0}^{1} (cos sqrt(x))^2dx$ con errore inferiore a $10^-1$.
Lo sviluppo in serie di McLaurin di cosx è $cosx=sum_{n=0}^{+oo}((-1)^n)/((2n)!)x^(2n)$.
Quindi
$cos sqrt(x)=sum_{n=0}^{+oo}((-1)^n)/((2n)!)x^(n)$
e
$(cos sqrt(x))^2=(sum_{n=0}^{+oo}((-1)^n)/((2n)!)x^(n))(sum_{n=0}^{+oo}((-1)^n)/((2n)!)x^(n))$
A questo punto però non so più come andare avanti...
Salve a tutti.
A breve ho un parziale di Analisi Matematica 2 (Ingegneria). Gli argomenti saranno le funzioni implicite e massimi e minimi vincolati.
Per quanto riguarda le prime sono ok, per le seconde ho ancora qualche dubbio riguardo la scelta della tecnica da utilizzare per risolvere gli esercizi. I tre metodi insegnatici sono curve di livello, teorema di Lagrange e metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Ciò che mi chiedo è, a seconda del vincolo, quale di questi mi conviene scegliere come ...
Ho $u(x)\in C^{\infty}(\mathbb{R})$ e $L^2(\mathbb{R})$ e ho, per $a\in \mathbb{R}$
\[
\ddot u+(a-x^{2})u=0
\]
Forse intuisco il perché, ma non capisco come mai nell'intorno dell'infinito
\[
\ddot u-x^{2}u=0
\]
Ho pensato a qualcosa come $|f(x)| \/ |g(x)| \rightarrow \lambda \in \mathbb{R}$ per $x \rightarrow \infty$ e posso scrivere
\[
0=f(x)=O[g(x)]\Rightarrow 0=\ddot u+(a-x^{2})u=O[\ddot u-x^{2}u]
\]
Ma devo verificarlo quindi
\[
\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\ddot u+(a-x^{2})u}{\ddot u-x^{2}u}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\ddot u / u ...
Avrei alcuni dubbio per come calcolare il limiti di $x$ che tende a $2$ della seguente funzione:
$(log(x-1))/(x^3-2x-4)$
Il mio dubbio è devo fare inizialmente il campo di esistenza di tutte la funzione nel suo insieme,ossia metto a sistema:
$x>1$ con $(x^3-2x-4)!=0$?
Oppure devo passare direttamente a studiare continuità e derivabilità prima del numeratore separato e poi del denominatore sempre a sè?E se è si,come faccio?Devo poi mettere a sistema la ...
Ciao a tutti,
ho un dubbio sul seguente esercizio sulle EDO:
Avendo l'operatore differenziale $L=(D^2+3D+9)^2$
si determinino le soluzioni di $L[y(x)]=0$
e fin qua non ho problemi. Risolvendo l'equazione caratteristica trovo le soluzioni complesse di molteciplità 2
$\lambda_{1,2}=-\frac{3}{2} +- \frac{3i\sqrt{3}}{2}$
Avendo come integrale generale:
$y(x)=c_1e^{-3/2x}\cos(\frac{3\sqrt{3}}{2}x)+c_2e^{-3/2x}\sin(\frac{3\sqrt{3}}{2}x)+c_3xe^{-3/2x}\cos(\frac{3\sqrt{3}}{2}x)+c_4xe^{-3/2x}\sin(\frac{3\sqrt{3}}{2}x)$
Poi dovrei determinare le soluzioni della non omogenea $L[y(x)]=b(x)$ con $b(x)=27-108x-81x^2$
ora l'annichilatore di $b(x)$ è senz'altro ...
La funzione, periodica di periodo \(\displaystyle 2\pi \), definita in \(\displaystyle (-\pi,pi] \) da \(\displaystyle f(x)=|x| \), ha il seguente sviluppo
in serie di Fourier: \(\displaystyle |x| = \frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}(cos(x)+\frac{1}{3^2}cos(3x)+\frac{1}{5^2}cos5x+...) \), scrivere l'identità di Parseval (motivandone la validità) e dedurne che \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}=\frac{\pi^4}{96} \)
Ho iniziato dicendo che la funzione è di periodo \(\displaystyle 2\pi ...
\(\displaystyle f(z) = \frac{1}{(z^2 + 1)^2} \)
\(\displaystyle R_f[\pm j] = ? \) ,
\(\displaystyle R_f[\infty] = ? \)
\(\displaystyle R_f[-j] + R_f[j] + R_f[\infty] = 0 \) ?
come calcolo il residuo a -j e +j ? Ho provato facendo :
\(\displaystyle R_f[-j] = \lim_{z \to -j} \frac{d}{dz} [(z+j)^2f(z)] \) , (essendo il polo -j di ordine 2)
ma il denominatore della derivata verra sempre 0 in -j, e quindi verrebbe \(\displaystyle \infty \).
Salve a tutti,
volevo chiedere il vostro aiuto riguardo ad un dubbio su di un esercizio svolto dal mio prof.
Risolvere il problema
${(y'=-(2x^2+y)/(x^2y-x)),(y(1)=0):}$
Suggerimento: Cercare un fattore integrante del tipo f(x)
Consideriamo la forma differenziale
$omega(x,y)=(2x^2+y)f(x)dx+(x^2y-x)f(x)dy$ che supponiamo essere esatta. Tale forma differenziale è definita in $Omega={(x,y)in RR^2 text{tale che x appartiene al dominio di f(x)}}$ ma la consideriamo in $A={(x,y)in RR^2 text{tale che x>0 xy<1 e x appartiene al dominio di f(x)}}$.
....
Il dominio della funzione a destra dell'equazione differenziale è ${(x,y)in RR^2: x^2y-x !=0}$ ossia ...
Ciao gente,
qualcuno sa dove posso trovare (anche solo il risultato) la trasformata di Fourier del potenziale di Coulomb in $n$ dimensioni?
Saluti. Ho il seguente esercizio: Trovare \(\displaystyle \alpha, \ \beta, \ \gamma \ \in \mathbb{R} \smallsetminus \{0\} \) tali che \[\displaystyle \cos \left( \frac{x+2}{x^{2}+4} \right) = \alpha + \frac{\beta}{x^{\gamma}} + o \left(\frac{1}{x^{\gamma}} \right) \qquad \mbox{per} \ x \to +\infty \]
Ho risolto così:
siccome l'argomento del coseno tende a zero al tendere di \(\displaystyle x \) all'infinito, posso utilizzare lo sviluppo in serie. Quindi si ha (mi fermo ...
Ciao a tutti ho questa equazione
$y''-2y' = xsinx$
Ho calcolato l'integrale generale che risulta essere: $c_1 + c_2e^(2x)$
Procedo quindi con il calcolo di un integrale particolare che sarà nella forma: $bar y = q_1(x)cosx + s_1(x)sinx$
Considero quindi $q_1(x) = Ax + B$ e $s_1(x) = Cx + D$.
Andando a sostituire ho:
$bar y = (Ax + B)cosx + (Cx + D)sinx$
Di conseguenza le derivate saranno
$bar y' = Acosx - (Ax+B)sinx + Csinx + (Cx+D)cosx$
$bar y'' = -2Asinx + 2Ccosx - (Ax+B)cosx - (Cx+D)sinx$
Sostituisco tutto nella equazione data dalla traccia dell'esercizio ed ...
Se \(\displaystyle z_0 \) è un polo di ordine N, la formula da utilizzare per il calcolo del residuo in \(\displaystyle z_0 \) è
\(\displaystyle R_f[z_0] = \frac{1}{(N-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{N-1}}{dz^{N-1}} [(z-z_0)^N f(z)] \)
Bene. Se io ho la funzione :
\(\displaystyle \frac{1}{z^2(1-z)} \) , avrò un polo doppio in \(\displaystyle z_0=0 \) .
Il libro calcola il residuo in questo modo :
\(\displaystyle R_f[0] = \frac{1}{1!} \lim_{z \to 0} \frac{d}{dz} \frac{1}{1-z} = ...
Ciao, ho un dubbio sugli spazi metrici. Il testo è questo:
Sia $(X,d)$ uno spazio metrico e sia $f:X \rarr \mathbb{R}$ definita da $f(x)=d(x,x_0)$ con $x_0 \in X$ fissato. E' allora certamente vero che:
A. $f$ è globalemnte Lipschitziana
B. $f$ può non essere continua in $x_0$
C. $f$ può non essere continua su tutto $X$
Il mio dubbio è venuto perchè se io prendo come insieme $X=\mathbb{R}$ e come distanza ...
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