Analisi matematica di base

La funzione, periodica di periodo \(\displaystyle 2\pi \), definita in \(\displaystyle (-\pi,pi] \) da \(\displaystyle f(x)=|x| \), ha il seguente sviluppo in serie di Fourier: \(\displaystyle |x| = \frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}(cos(x)+\frac{1}{3^2}cos(3x)+\frac{1}{5^2}cos5x+...) \), scrivere l'identità di Parseval (motivandone la validità) e dedurne che \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}=\frac{\pi^4}{96} \) Ho iniziato dicendo che la funzione è di periodo \(\displaystyle 2\pi ...

\(\displaystyle f(z) = \frac{1}{(z^2 + 1)^2} \) \(\displaystyle R_f[\pm j] = ? \) , \(\displaystyle R_f[\infty] = ? \) \(\displaystyle R_f[-j] + R_f[j] + R_f[\infty] = 0 \) ? come calcolo il residuo a -j e +j ? Ho provato facendo : \(\displaystyle R_f[-j] = \lim_{z \to -j} \frac{d}{dz} [(z+j)^2f(z)] \) , (essendo il polo -j di ordine 2) ma il denominatore della derivata verra sempre 0 in -j, e quindi verrebbe \(\displaystyle \infty \).

Salve a tutti, volevo chiedere il vostro aiuto riguardo ad un dubbio su di un esercizio svolto dal mio prof. Risolvere il problema ${(y'=-(2x^2+y)/(x^2y-x)),(y(1)=0):}$ Suggerimento: Cercare un fattore integrante del tipo f(x) Consideriamo la forma differenziale $omega(x,y)=(2x^2+y)f(x)dx+(x^2y-x)f(x)dy$ che supponiamo essere esatta. Tale forma differenziale è definita in $Omega={(x,y)in RR^2 text{tale che x appartiene al dominio di f(x)}}$ ma la consideriamo in $A={(x,y)in RR^2 text{tale che x>0 xy<1 e x appartiene al dominio di f(x)}}$. .... Il dominio della funzione a destra dell'equazione differenziale è ${(x,y)in RR^2: x^2y-x !=0}$ ossia ...

Ciao gente, qualcuno sa dove posso trovare (anche solo il risultato) la trasformata di Fourier del potenziale di Coulomb in $n$ dimensioni?

Saluti. Ho il seguente esercizio: Trovare \(\displaystyle \alpha, \ \beta, \ \gamma \ \in \mathbb{R} \smallsetminus \{0\} \) tali che \[\displaystyle \cos \left( \frac{x+2}{x^{2}+4} \right) = \alpha + \frac{\beta}{x^{\gamma}} + o \left(\frac{1}{x^{\gamma}} \right) \qquad \mbox{per} \ x \to +\infty \] Ho risolto così: siccome l'argomento del coseno tende a zero al tendere di \(\displaystyle x \) all'infinito, posso utilizzare lo sviluppo in serie. Quindi si ha (mi fermo ...

Ciao a tutti ho questa equazione $y''-2y' = xsinx$ Ho calcolato l'integrale generale che risulta essere: $c_1 + c_2e^(2x)$ Procedo quindi con il calcolo di un integrale particolare che sarà nella forma: $bar y = q_1(x)cosx + s_1(x)sinx$ Considero quindi $q_1(x) = Ax + B$ e $s_1(x) = Cx + D$. Andando a sostituire ho: $bar y = (Ax + B)cosx + (Cx + D)sinx$ Di conseguenza le derivate saranno $bar y' = Acosx - (Ax+B)sinx + Csinx + (Cx+D)cosx$ $bar y'' = -2Asinx + 2Ccosx - (Ax+B)cosx - (Cx+D)sinx$ Sostituisco tutto nella equazione data dalla traccia dell'esercizio ed ...

Se \(\displaystyle z_0 \) è un polo di ordine N, la formula da utilizzare per il calcolo del residuo in \(\displaystyle z_0 \) è \(\displaystyle R_f[z_0] = \frac{1}{(N-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{N-1}}{dz^{N-1}} [(z-z_0)^N f(z)] \) Bene. Se io ho la funzione : \(\displaystyle \frac{1}{z^2(1-z)} \) , avrò un polo doppio in \(\displaystyle z_0=0 \) . Il libro calcola il residuo in questo modo : \(\displaystyle R_f[0] = \frac{1}{1!} \lim_{z \to 0} \frac{d}{dz} \frac{1}{1-z} = ...

Ciao, ho un dubbio sugli spazi metrici. Il testo è questo: Sia $(X,d)$ uno spazio metrico e sia $f:X \rarr \mathbb{R}$ definita da $f(x)=d(x,x_0)$ con $x_0 \in X$ fissato. E' allora certamente vero che: A. $f$ è globalemnte Lipschitziana B. $f$ può non essere continua in $x_0$ C. $f$ può non essere continua su tutto $X$ Il mio dubbio è venuto perchè se io prendo come insieme $X=\mathbb{R}$ e come distanza ...

Salve ragazzi. Non riesco a capire quale procedimento bisogna seguire per risolvere questo problema: Ho capito che qualora b fosse pari a 2 allora la terza riga diventerebbe la somma delle altre due e quindi la matrice diventerebbe 2x4 e quindi avrebbe rango pari a 2. Ma qual'è il procedimento da seguire affinchè si possa provare che b deve essere diverso da 2 per avere il rango pari a 3? GRAZIE PER LA RISPOSTA

Potreste spiegarmi questi tre passaggi con disequazioni di integrali? Non capisco se usa la disuguaglianza di Holder ma in ogni caso non mi torna al 100% $ u(x)-u(y)=int_(y)^(x) u'(t) dt$ $|u(x)-u(y)| \leq (int_0^1 |u'|^2 dx) ^(1/2)*|x-y|^(1/2)$ $|u(x)| \leq |u(0)|+(int_0^1 |u'|^2 dx) ^(1/2) $

Salve a tutti, oggi l'esercitatore ha risolto questo limite con vari metodi: $lim_(n->+infty) (4n^2+2n-3)/(n^2+1)$ Ora nonostante questo sia un limite stupido e banale, trattandosi di un corso di recupero ha illustrato 4 metodi di risoluzione, tra i quali ha inserito anche de l''Hopital. Quando gli ho chiesto il motivo, ha commentato dicendo che la domanda era ben posta ed ha detto che si dimostra che, per $x->+infty$, $f(n)$ ed $f(x)$ hanno lo stesso "comportamento" quindi è lecito ...

Ciao a tutti, [tex][/tex] sto cercando di fare degli esercizi sui limiti ma non sono capace, non so se il mio modo di ragionare sia corretto o meno. 1) $\lim_{n \to +\infty}(4^n + 3^n)/(2^n + \p^(n-1))$ In questo caso osservo num e den e vedo quale dei due cresce più velocemente all'aumentare di $n$. Vedo che num e den mi danno $+\infty$. Quindi? Come lo risolvo? 2) $\lim_{n \to +\infty}(n!)/(n^5 + 5^n)$ $n!$ va più veloce di $n^5 + 5^n$ quindi il risultato è $+\infty$. 3) ...

Ho cominciato a studiare i numeri complessi e sto svolgendo gli esrcizi alla fine di ogni paragrafo, ma non sempre sono riportate le soluzioni, potreste controllarmi questi? L'esercizio recita: tracciare un disegno che mostri l'insieme di tutti gli $z$ del piano complesso che soddisfano ciascuna delle seguneti condizioni. a)$|z|<1$ cerchio di raggio 1, centro nell'origine, circonferenza esclusa b)$z+\bar z=1$ retta parallela all'asse immaginario di equazione ...

Ciao ragazzi! devo studiare il seguente insieme numerico al variare di \(\displaystyle \lambda\in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \): \(\displaystyle X=\{(\lambda -3)^n+\log_3{\frac{n^2}{n^2+1}},n\in\mathbb{N}\} \) Noto che la successione è oscillante per i suddetti valori di \(\displaystyle \lambda \). dunque devo distinguere i casi n pari ed n dispari? oppure posso concludere subito dicendo che l'insieme numerico non ha nè inf e nè sup?

Su di un libro su cui sto studiando è presente la seguente proprietà elementare: \begin{equation} (1+x)^{1-\delta}\leq \delta x +\frac{1}{\delta}^{\frac{1}{\delta}} \mbox{ per } x>0,0

Ciao a tutti, avrei una domanda sul polinomio di Taylor: di alcune funzioni conosco lo sviluppo del polinomio di taylor, tipo senx e cosx ma se io non ce l'ho già scritta, come faccio per trovare lo sviluppo del polinomio di funzioni non già note? tipo logx

Cari ragazzi, è noto che se una funzione è dotata di derivate di ogni ordine in $(a,b)$ ed esistono $M$ e $L$ costanti positive tali che $|f^{(n)}(x)|\leq ML^n$ per ogni $x\in (a,b)$ allora la funzione è sviluppabile in serie di Taylor di punto inziale $x_0\in (a,b)$. Ora si consideri la funzione $sen(x^4)$. Mi chiedevo quali sono le costanti che maggiorano le derivate o meglio quale valore le derivate in modulo non possono mai superare. Ringrazio!

Un piccolo aiuto, se qualcuno ha idee a riguardo. Mi sono poc'anzi imbattuto in un teorema d'analisi funzionale che recita piu o meno "Ogni operatore positivo ovunque definito e' limitato", e nella dimostrazione l'ipotesi di essere ovunque definito viene pesantemente usata. Qualcuno riuscirebbe a darmi un controesempio piu o meno esplicito per mostrare che senza tale ipotesi e' possibile trovare un operatore densamente definito positivo ma non limitato? Se manca l´ipotesi di positivita' il ...

Salve, ho la seguente successione di funzioni $nx(3-x^2)^n$ , devo studiare la convergenza uniforme e puntuale. Converge in x=0.... ma il testo riporta anche per $|(3-x^2)|<1$ , perchè? Vi ringrazio

ciao a tutti: potreste "tradurmi" questo esercizio, che forse riesco a risolverlo con qualche aiuto? siano $ f: R^2rarr R^2 e g: R^2rarr R^2 $ : 1- det[f g] = det $ | ( f1 , g1 ),( f2 , g2 ) | $ $ in C^0 (R^2;R^2) rArr f in C^0(R^2;R^2) ; g in C^0(R^2;R^2) $ 2- $ (f,g) in C^0 (R^2;R^4$) $ rArr f in C^0(R^2;R^2) , g in C^0 (R^2;R^2) $ ringrazio in anticipo per la disponibilità