[EX] Sulle parti dispari e pari di una funzione $L^2$

[gugo82]

Si è visto millenni fa (qui) che ogni funzione \(u:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) si può scrivere in unico modo come somma di una funzione pari \(u_P\) e di una funzione dispari \(u_D\).

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Prima di iniziare, ricordo che lo spazio \(L^2(\mathbb{R})\) è costituito da tutte le funzioni \(u:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) che sono misurabili secondo Lebesgue e che hanno finito l'integrale \(\int_{-\infty}^\infty u^2(x)\ \text{d} x\).
Inoltre, se può servire, ricordo pure che \(L^2(\mathbb{R})\) è il completamento di \(C_c(\mathbb{R})\) rispetto alla norma \(\lVert u\rVert_2 := \sqrt{\int_{-\infty}^\infty u^2(x)\ \text{d} x }\).

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Esercizio:

1. Sia \(u\in L^2 (\mathbb{R})\). Dimostrare che \(u_P,\ u_D \in L^2(\mathbb{R})\).

2. Che relazione c'è tra \(\lVert u_D\rVert_2\) e \(\lVert u\rVert_2\)?

3. Cosa si può dire di \(\lVert u_P\rVert_2\)?

[Paolo902]

Mi butto e comincio a fare la parte semplice.

"gugo82":
1. Sia \(u\in L^2 (\mathbb{R})\). Dimostrare che \(u_P,\ u_D \in L^2(\mathbb{R})\).

Osserviamo, per cominciare, che vale il seguente fatto, piuttosto carino. Sia [tex]g \colon \mathbb R \to \mathbb R[/tex] una funzione integrabile. Allora [tex]\int_{\mathbb R} g(x)\text{d}x = \int_{\mathbb R} g(-x)\text{d}x[/tex]. La dimostrazione è un conto (integrazione per sostituzione) ed è lasciata al lettore.

Ad ogni modo, se $u(x) \in L^2(\RR)$ allora $u(-x)$ sta ancora in $L^2(\RR)$ perchè è misurabile (è composizione di una funzione misurabile con una funzione continua, quindi è misurabile: per una dimostrazione, cfr. ad esempio qui). Inoltre, è chiaramente a quadrato integrabile per l'osservazione iniziale: in particolare, [tex]\Vert u(x)\Vert = \sqrt{ \int_{\mathbb{R}} u^{2}(x)\text{d}x} = \sqrt{ \int_{\mathbb{R}} u^{2}(-x)\text{d}x} = \Vert u(-x) \Vert[/tex].

A questo punto, è facile concludere. La parte pari e la parte dispari di $u$ sono definite come combinazioni lineari di $u(x)$ e $u(-x)$ che sono in $L^2$. Siccome $L^2(\RR)$ è uno spazio vettoriale reale, abbiamo che $u_{P}, u_{D} \in L^2(\RR)$.

"gugo82":
2. Che relazione c'è tra \(\lVert u_D\rVert_2\) e \(\lVert u\rVert_2\)?
3. Cosa si può dire di \(\lVert u_P\rVert_2\)?

Eh, bella domanda!

Se ho visto bene, direi che [tex]\Vert u_P \Vert \le \Vert u \Vert[/tex] e analogamente per la parte dispari (è la semplice disuguaglianza triangolare, che se non sbaglio si chiama anche disuguaglianza di Minkowski, nell'ambito degli $L^p$, ma adesso non voglio perdere tempo sui nomi).

Per quanto riguarda la parte dispari, ho fatto qualche conto, trovando che [tex]\Vert u_D \Vert = \frac{1}{2}\Vert u(x)-u(-x) \Vert = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{\Vert u \Vert^{2} - \langle u(x), u(-x) \rangle}[/tex] dove [tex]\langle \cdot, \cdot \rangle[/tex] è il solito prodotto scalare su $L^{2}(\RR)$. In particolare, la funzione $x \mapsto u(x)u(-x)$ è palesemente pari, ma non vedo come questo possa aiutarmi...

Si può dire qualcosa in più? Continuo a pensarci.

Nel frattempo ti ringrazio molto, come al solito.

[gugo82]

@Paolo: Eleva m.a.m. al quadrato, usa la linearità dell'integrale e Cauchy-Schwarz.

[Paolo902]

Oh, grazie!
Sentivo puzza di C-S ma non vedevo dove usarla!

Ero arrivato a [tex]\Vert u_D \Vert = \frac{1}{2}\Vert u(x)-u(-x) \Vert = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{\Vert u \Vert^{2} - \langle u(x), u(-x) \rangle}[/tex] dove [tex]\langle \cdot, \cdot \rangle[/tex] è il solito prodotto scalare su $L^{2}(\RR)$. Quindi
\[
\Vert u_D \Vert^{2} = \frac{1}{2}\int_{\mathbb R} u(x)\left[ u(x)-u(-x)\right] \text{d}x=
\]
\[
= \frac{1}{2}\langle u(x), u(x)-u(-x) \rangle \le
\]
\[
\le \frac{1}{2} \Vert u(x) \Vert \cdot \Vert u(x)-u(-x) \Vert = \Vert u(x) \Vert \cdot \Vert u_D(x) \Vert
\]
dove nel penultimo passaggio si è fatto uso della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. A questo punto, se $u_D$ non è q.o. nulla (sse $u$ non è pari per quasi ogni $x$ (?)) direi che si possono dividere ambo i membri per [tex]\Vert u_D \Vert[/tex], ottenendo così
\[
\Vert u_D \Vert \le \Vert u \Vert
\]

Ma questa ultima relazione si poteva ricavare facilmente mediante disuguaglianza triangolare!
Temo di aver sbagliato qualcosa. Mentre studio Fisica, vado a caccia dell'errore...

[gugo82]

Non c'è nessun errore da cercare.
Devo dire che era venuta in mente così pure a me all'inizio... Solo dopo mi sono accorto della disuguaglianza triangolare.

[Paolo902]

Ottimo.

Ovviamente, un'analoga considerazione risponde anche al punto 3, dico bene?
Grazie mille!