Equazione differenziale del moto armonico

[Plepp]

Salve ragazzi,
posto qui perchè il mio è un problema matematico, nonostante si parli di Fisica.

Un po di tempo fa ho studiato il moto armonico. Il testo e il docente affermano che la legge oraria di tale moto è
\[x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)\qquad (1)\]
con $A,\omega,\varphi$ costanti. Allo stesso tempo affermano che l'equazione differenziale del moto armonico è
\[\dfrac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0\]
le cui $\infty^2$ soluzioni sono date, nel campo reale, da
\[x(t)=c_1\cos(\omega t)+c_2\sin(\omega t)\qquad (2)\]
con $c_1, c_2$ reali. A questo punto, vorrei sapere perchè la (1) e la (2) coincidono, o meglio, come si possa giungere dalla (2) alla (1). Suppongo si tratti di applicare qualche relazione trigonometrica, e di porre alla fine $A=f(c_1,c_2)$ e
$\varphi=g(c_1,c_2)$, ma non saprei comunque da dove iniziare...

Grazie in anticipo

[Summerwind78]

Ciao

si risolve utilizzando la formula di addizione del seno


ricorda che

$\sin (alpha + beta) = \sin alpha \cos beta + \sin beta \cos alpha$

partendo dalla soluzione che tu hai trovato hai

$x(t) = c_1 \cos (omega t) + c_2 \sin (omega t) $

dove $c_1$ e $c_2$ sono delle costanti, pertanto le possamo riscrivere

$c_2 = A \cos varphi$

$c_1 = A \sin varphi$

che restano sempre delle costanti da determinare

pertanto la tua equazione diventa

$x(t) = c_1 \cos (omega t) + c_2 \sin (omega t) \Rightarrow x(t) = A \sin varphi \cos (omega t) + A \cos varphi \sin (omega t) $

che, applicando la formula di addizione indicata prima, puoi riscrivere come

$x(t) = A \sin (omega t + varphi)$

dove $A$ e $varphi$ restano delle costanti da determinare

Spero di esserti stato di aiuto

[Plepp]

Perfetto! Grazie mille purtroppo, nonostante il buon voto in analisi matematica, sono una vera e propria frana in trigonometria (ho fatto il liceo classico e non pensavo di prendere ingegneria, quindi ste cose le "snobbavo" all'epoca, maledizione a me stesso) era la formula di addizione che mi mancava

Grazie ancora