Integrali per parti

[brownbetty1]

Salve a tutti. Devo calcolare questi due integrali:
$ int_( )^( ) xsinx(cos^2x) dx$
$ int_( )^( ) (xtgx)/(cos^2x) dx$
ho provato per parti ... ma per il primo i calcoli sono lunghissimi, per il secondo ottengo un'identità.

Avete qualche suggerimento ?

Grazie anticipatamente

[gugo82]

Prova a postare i passaggi.

[brownbetty1]

Ciao. Il primo l'ho risolto. Per il secondo continuo ad avere lo stesso problema. Per il procedimento, ho osservato che il quadrato del reciproco del coseno puó essere il fattor e differenziale, tutto il resto quindi il fattore finito. Applicando la formula, si ottiene un ulteriore integrale (di tg sx al quadrato) che può essere facillmente di nuovo calcolato per parottenti. Così facendo si ottiene l'identitá.

Scusa per il papiro, ma al momento sono con il cell.

[gugo82]

Certo, se integri per parti all'inverso è normale che torni al punto di partenza...

Integrando per parti col fattore differenziale \(\frac{\tan x}{\cos^2 x}\) si trova:
\[
\begin{split}
\int x \frac{\tan x}{\cos^2 x}\ \text{d} x &= \frac{1}{2}\ x\ \tan^2 x -\frac{1}{2}\int \tan^2 x\ \text{d} x \\
&= \frac{1}{2}\ x\ \tan^2 x -\frac{1}{2}\int \frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}\ \text{d} x \\
&= \frac{1}{2}\ x\ \tan^2 x -\frac{1}{2}\ \left( \tan x -x\right) + C
\end{split}
\]
con l'ultimo membro che puoi riscrivere anche come segue:
\[
\frac{1}{2}\ \frac{x}{\cos^2 x} - \frac{1}{2}\ \tan x +C\; .
\]