F di classe $C^oo$ non sviluppabile in serie di McLaurin

[nunziox]

Sia $f(x)={(e^(-1/(x^2)) x!=0),(0 x=0):}$

La funzione è di classe $C^oo$.

Se vogliamo fare il suo sviluppo

$ f(x)=sum f(x)^n/(!n) x $

tutte le derivate in $x_0$ sono nulle

Qui ho il dubbio.
sul libro leggo:
la serie degli zeri converge alla funzione identicamente nulla e non alla funzione che l'ha generata!!!
ma perché? La funzione che l'ha generata non è 0 per x=0?

[Seneca1]

$sum (f^n(0))/(n!) * x$ è la funzione identicamente nulla...

Se la funzione fosse sviluppabile in serie di Taylor nel punto $0$, allora esisterebbe un intorno $U$ del punto $0$ in cui:

$f(x) = sum (f^n(0))/(n!) * x = 0 , AA x in U$. Ciò che non si verifica. Infatti in nessun intorno $U$ di $0$ la funzione $f$ è costantemente $0$.

[nunziox]

ah ok...
io la $f(x)$ la devo guardarla in un intorno di $0$ quindi per $x!=0$, dove vale: $f(x)=e^(-1/x^2)$

quindi $sum f^n(0)/(n!)x^n != f(B_delta(0)) != 1)$

[Seneca1]

"nunziox":ah ok...
io la $f(x)$ la devo guardarla in un intorno di $0$ quindi per $x!=0$, dove vale: $f(x)=e^(-1/x^2)$

quindi $sum f^n(0)/(!n)x^n != f(B_delta(0)) != 1)$

Non si capisce niente da come scrivi le formule (e perché il simbolo di fattoriale lo metti alla rovescia?)...

[nunziox]

Si scusa correggo...

con $B_delta(0)$ volevo indicare un intorno di 0. E' brutto da vedere?