Dubbio su equazioni differenziali

[laurapa1]

Ciao a tutti... se io ho un equazione differenziale generale, non omogenea, a una variabile, per es. del secondo ordine (ma non necessariamente) e riesco a trovare la soluzione particolare di questa equazione (qualunque sia la funzione a destra dell'uguale) e, inoltre, questa soluzione particolare soddisfa le condizioni iniziali, come mai la "soluzione totale" dell'equazione è proprio quella particolare? Mi potreste motivare bene questo fatto?
Spero di essermi spiegata bene.
Grazie anticipatamente.

[gugo82]

Forse perché sei nelle ipotesi del teorema di unicità?

[Plepp]

Ciao da quanto mi par di capire non hai le idee molto chiare...

Quando parli di "condizioni iniziali", vuol dire che non stai risolvendo una semplice EDO, bensì un cosiddetto Problema di Cauchy: questo consiste (terra terra ) nel trovare quella funzione $y$ che sia allo stesso tempo UNA DELLE SOLUZIONI di una data EDO, e che soddisfi le condizioni iniziali (nel caso di equazioni del second'ordine, queste saranno del tipo $y(x_0)=y_0$ e $y'(x_0)=y_1$).

Quando parli di "soluzione totale" intendi quello che viene detto integrale generale della EDO, ossia la famiglia di TUTTE le soluzioni della EDO (quindi, non si parla di una sola funzione, ma di infinite), eventualmente al variare di uno o piu parametri.

Esempio.
Come saprai, anche il calcolo di un semplice integrale indefinito equivale a risolvere una EDO del prim'ordine, del tipo
\[y'=f(x)\]
Quindi se ci venisse chiesto di risolvere la seguente equazione:
\[y'=2x\]
noi diremmo che l'integrale generale della precedente è
\[y(x)=x^2+C\]
con $C \in RR$. Se invece ci chiedessero di risolvere il problema di Cauchy:
\[\begin{cases}
y'=2x\\
y(0)=0
\end{cases}
\]
noi daremmo l'UNICA soluzione $y(x)=x^2$.

Spero di essere stato chiaro ciao

[Plepp]

Correggimi se sono stato impreciso, Gugo

PS: @laurapa...come ha detto Gugo, il fatto che la soluzione ad un problema di Cauchy di quel tipo sia unica, ce lo garantisce il teorema di unicità