Trasformata di Laplace di una funzione periodica II
Qui un altro esercizio con il quale ho difficoltà ad individuare il grafico e quindi la trasformata.
Qui c'è la traccia con la relativa soluzione
Ho iniziato con il tracciare il grafico per la funzione descritta ma sono incerto su come devo interpretare la traccia.
http://imageshack.us/photo/my-images/28/periodi.jpg/
Ho tracciato i grafici per entrambe le possibili interpretazioni e ho sviluppato le funzioni nel dominio del tempo e della frequenza per entrambi i casi.
Nel caso di sinistra ho:
\(\displaystyle f(t)=\frac{1}{2}1(t)+\frac{1}{2\pi}r(t)-\frac{1}{2\pi}r(t-\pi)-1(t-\pi) \)
che ha trasformata:
\(\displaystyle F(s)=\frac{\pi s+1-e^{-\pi s}-\pi se^{-\pi s}}{2\pi s^2(1-e^{-2\pi s})}\frac{e^{2\pi s}}{e^{2\pi s}} = \frac{e^{2\pi s}(1+\pi s)-\pi s e^{\pi s}-e^{\pi s}}{2\pi s^2 (e^{2\pi s}-1)}\)
e il mio risultato (sperando sia corretto coerentemente con questa interpretazione) non combacia con la traccia.
Nel secondo caso che ho ipotizzato, (grafico di destra) ho la somma di un contributo iniziale in \(\displaystyle [0,\pi] \) e una funzione periodica a partire da \(\displaystyle \pi \) in poi, quindi il contributo iniziale è:
\(\displaystyle i(t)=\frac{1}{2}1(t)+\frac{1}{2\pi}r(t)-\frac{1}{2\pi}r(t-\pi)-1(t-\pi) \)
mentre il secondo contributo periodico di periodo \(\displaystyle 2\pi \) ristretto ad esso è:
\(\displaystyle h(t)=\frac{1}{2\pi}r(t-\pi)-\frac{1}{2\pi}r(t-3\pi)-1(r-3\pi) \)
quindi trasformando ottengo:
\(\displaystyle \mathcal{L}\{i(t)+h_{2\pi}(t)\}(s)=\frac{\pi s+1-e^{-\pi s}-2\pi s e^{-\pi s}}{2\pi s^2}+\frac{e^{-\pi s}-e^{-3\pi s}-2\pi s e^{-3\pi s}}{2\pi s^2(1-e^{-2\pi s})} \)
quindi:
\(\displaystyle \mathcal{L}\{i(t)+h_{2\pi}(t)\}(s)=\frac{1-2\pi s e^{-\pi s}-\pi s e^{-2\pi s}-e^{-2\pi s}+\pi s}{2\pi s^2(1-e^{-2\pi s})} \)
moltiplicando e dividendo:
\(\displaystyle \mathcal{L}\{i(t)+h_{2\pi}(t)\}(s)=\frac{1-2\pi s e^{-\pi s}-\pi s e^{-2\pi s}-e^{-2\pi s}+\pi s}{2\pi s^2(1-e^{-2\pi s})}\frac{e^{2\pi s}}{e^{2\pi s}} =\frac{e^{2\pi s}-2\pi s e^{\pi s}-\pi s-1+\pi s e^{2\pi s}}{2\pi s^2(e^{2\pi s}-1)} \)
e dopo tanti calcoli comunque non pervengo ad un risultato come quello nella soluzione. Non riesco a capire dove sbaglio.
Qui c'è la traccia con la relativa soluzione
Ho iniziato con il tracciare il grafico per la funzione descritta ma sono incerto su come devo interpretare la traccia.
http://imageshack.us/photo/my-images/28/periodi.jpg/
Ho tracciato i grafici per entrambe le possibili interpretazioni e ho sviluppato le funzioni nel dominio del tempo e della frequenza per entrambi i casi.
Nel caso di sinistra ho:
\(\displaystyle f(t)=\frac{1}{2}1(t)+\frac{1}{2\pi}r(t)-\frac{1}{2\pi}r(t-\pi)-1(t-\pi) \)
che ha trasformata:
\(\displaystyle F(s)=\frac{\pi s+1-e^{-\pi s}-\pi se^{-\pi s}}{2\pi s^2(1-e^{-2\pi s})}\frac{e^{2\pi s}}{e^{2\pi s}} = \frac{e^{2\pi s}(1+\pi s)-\pi s e^{\pi s}-e^{\pi s}}{2\pi s^2 (e^{2\pi s}-1)}\)
e il mio risultato (sperando sia corretto coerentemente con questa interpretazione) non combacia con la traccia.
Nel secondo caso che ho ipotizzato, (grafico di destra) ho la somma di un contributo iniziale in \(\displaystyle [0,\pi] \) e una funzione periodica a partire da \(\displaystyle \pi \) in poi, quindi il contributo iniziale è:
\(\displaystyle i(t)=\frac{1}{2}1(t)+\frac{1}{2\pi}r(t)-\frac{1}{2\pi}r(t-\pi)-1(t-\pi) \)
mentre il secondo contributo periodico di periodo \(\displaystyle 2\pi \) ristretto ad esso è:
\(\displaystyle h(t)=\frac{1}{2\pi}r(t-\pi)-\frac{1}{2\pi}r(t-3\pi)-1(r-3\pi) \)
quindi trasformando ottengo:
\(\displaystyle \mathcal{L}\{i(t)+h_{2\pi}(t)\}(s)=\frac{\pi s+1-e^{-\pi s}-2\pi s e^{-\pi s}}{2\pi s^2}+\frac{e^{-\pi s}-e^{-3\pi s}-2\pi s e^{-3\pi s}}{2\pi s^2(1-e^{-2\pi s})} \)
quindi:
\(\displaystyle \mathcal{L}\{i(t)+h_{2\pi}(t)\}(s)=\frac{1-2\pi s e^{-\pi s}-\pi s e^{-2\pi s}-e^{-2\pi s}+\pi s}{2\pi s^2(1-e^{-2\pi s})} \)
moltiplicando e dividendo:
\(\displaystyle \mathcal{L}\{i(t)+h_{2\pi}(t)\}(s)=\frac{1-2\pi s e^{-\pi s}-\pi s e^{-2\pi s}-e^{-2\pi s}+\pi s}{2\pi s^2(1-e^{-2\pi s})}\frac{e^{2\pi s}}{e^{2\pi s}} =\frac{e^{2\pi s}-2\pi s e^{\pi s}-\pi s-1+\pi s e^{2\pi s}}{2\pi s^2(e^{2\pi s}-1)} \)
e dopo tanti calcoli comunque non pervengo ad un risultato come quello nella soluzione. Non riesco a capire dove sbaglio.
Risposte
Quelli che hai disegnato non sono in alcun modo i grafici della funzione da trasformare.
Il grafico è il seguente:
[asvg]xmin=-4; xmax=16; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red"; line([0,0],[3.141,3.141]); line([3.141,-3.141],[6.283,0]);
stroke="orange"; line([6.283,0],[9.425,3.141]); line([9.425,-3.141],[15.708,3.141]); line([-3.141,-3.141],[0,0]); line([-9.425,-3.141],[-3.141,3.141]); line([15.708,-3.141],[21.991,3.141]);[/asvg]
ed in rosso è evidenziata la parte di grafico che cade nell'intervallo \([0,2\pi]\) e che ti serve a calcolare la trasformata.
Il grafico è il seguente:
[asvg]xmin=-4; xmax=16; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red"; line([0,0],[3.141,3.141]); line([3.141,-3.141],[6.283,0]);
stroke="orange"; line([6.283,0],[9.425,3.141]); line([9.425,-3.141],[15.708,3.141]); line([-3.141,-3.141],[0,0]); line([-9.425,-3.141],[-3.141,3.141]); line([15.708,-3.141],[21.991,3.141]);[/asvg]
ed in rosso è evidenziata la parte di grafico che cade nell'intervallo \([0,2\pi]\) e che ti serve a calcolare la trasformata.
Il grafico parla da solo! Grazie!
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