[Esercizio] Sistema con soluzione unica.

[Studente Anonimo]

Sia \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) e consideriamo il sistema seguente
\[ \left\{\begin{matrix}
x &= &f(y) \\
y &= &f(z) \\
z &= &f(x)
\end{matrix}\right. \]

i) Dimostra che il sistema possiede un'unica soluzione su \( \mathbb{R} \) se \(f \) è continua e decrescente.
ii) Sia \( f(x) = e^{-\sinh(x-1)} \) trova la soluzione del sistema.
iii) Dimostra che il sistema possiede un'unica soluzione su \( \mathbb{R} \) se \(f \) è continua e tale che \(f^k=f \circ \ldots \circ f \) è una contrazione (stretta) per qualche \( k \geq 3 \).
iv) Dimostra che il sistema possiede un unica soluzione su \( [a,b] \subset \mathbb{R} \) se \( f \) è di classe \( C^1 \) e tale che \(f([a,b]) \subset [a,b] \), e inoltre abbiamo che \[ \sum_{n=0}^{\infty} \left( f'(x) \right)^n \]
converge per ogni \( x \in [a,b] \).
v) Trova una \(f \) di classe \( C^1 \) almeno su \( [1,+ \infty) \) tale per cui
\[ \sum_{n=0}^{\infty} \left( f'(x) \right)^n \]
converge per ogni \( \left| x \right| \in (1,+\infty) \) ma per cui il sistema non ha soluzioni in \((1,+\infty) \) e tale che il sistema ha più soluzioni se \( \left| x \right| \in [1,+ \infty) \).
Qual'è l'ipotesi che non è soddisfatta rispetto a iv) ?

[otta96]

Che manda un intervallo compatto dentro sé stesso?

[Studente Anonimo]

Si

[otta96]

Ah aspetta ma questo era un esercizio che volevi proporre agli altri? Non avevo capito ora sì.
Avevo letto frettolosamente e pensavo avessi chiesto solo l'ultima cosa.

[Studente Anonimo]

"otta96":Ah aspetta ma questo era un esercizio che volevi proporre agli altri? Non avevo capito ora sì.
Avevo letto frettolosamente e pensavo avessi chiesto solo l'ultima cosa.

Si esatto
Tra l'altro anche io non ho capito la tua risposta, perché supponendo che tu avessi capito che era un esercizio che volevo proporre agli altri, ho pensato che la tua era una perplessità sulle ipotesi del iv) e non la risposta ad una delle domande.