Esercizio su forme differenziali

[caffeinaplus]

Salve a tutti, stavo svolgendo questo esercizio di cui non ho soluzione

L'esercizio chiede di studiare la seguente forma differenziale

$w = |x|/(x^2+y^2)dx +y/(x^2+y^2)dy $

e di calcolarne poi l'integrale $int_(gamma_1 uu gamma_2) w$

Dove $gamma_1(t) = (cos(t)/(t^2+1), sin(t))$ su $t in [0,pi/2]$

Mentre $gamma_2(t) = (cos(t),sin(t))$ su $t in [pi/2,3/4pi]$

Procedimento:

Parto con studiare se la forma differenziale è chiusa

$(-2|x|y)/(x^2+y^2)^2 = (-2xy)/(x^2+y^2)^2$ se e solo se $x>=0$

Allora posso concludere che

Per $x<0$ la forma differenziale non è esatta

L'insieme di definizione della forma è $D = RR^2\\{(0,0)}$

Dunque considero la forma in un insieme in cui $x>=0$ e non è inclusa l'origine $\rArr w$ è una forma esatta.

Posso mettermi alla ricerca di una primitiva

$(dPhi)/(dx) = x/(x^2+y^2) \rArr Phi = 1/2ln(x^2+y^2)+c(y)$

$(dPhi)/(dy) = y/(x^2+y^2) +c'(y)$

Che è uguale al secondo coefficiente della forma se $c=$costante.

Dunque $Phi = 1/2ln(x^2+y^2)+c$

Allora $int_(gamma_1)w = Phi(gamma_1(pi/2)) - Phi(gamma_1(0)) = 0$

La seconda parte di curva invece devo calcolarla per via diretta

$int_(pi/2)^(3/4pi) ((-cost)(-sint) +sintcost)dt = sin^2(t)|_(pi/2)^(3/4pi)=-1/2$

Allora $int_(gamma_1 uu gamma_2) w = -1/2$

Grazie in anticipo

[apatriarca]

Mi sembra corretto.