Esercizio su massimo/minimo

[caffeinaplus]

Salve a tutti
Sto svolgendo questo esercizio di cui non ho soluzione e vorrei sapere se il mio svolgimento porta a risultati corretti.

$f(x,y)=(xy-1/2)*(x^2+y^2-1)$

Dato che stiamo cercando massimi e minimi su tutto $RR^2$ e dato che la funzione è $C^(oo)(RR^2)$ allora ha anche derivate prime continue su $RR^2\rArr$ è differenziabile su tutto il dominio.

Passo quindi a cercare i punti in cui il gradiente della funzione si annulla.

$nablaf(x,y)= | ( 2x(xy-1/2)+y(x^2+y^2-1) ),( 2y(xy-1/2) +x(x^2+y^2-1) ) | $

Quindi sottraggo la prima equazione alla seconda

$ { ( (x-y)*(2xy -1 -x^2-y^2+1)=0 ),( 2y(xy-1/2)+x(x^2+y^2-1)=0 ):} $


Che mi porta ad avere come potenziali punti di massimo/minimo

$P_1=(0,0), P_2=(1/sqrt(2),1/sqrt(2)), P_3=(-1/sqrt(2),-1/sqrt(2))$

La mia matrice Hessiana sarà

$ | ( 6xy -1 , 3x^2+3y^2-1 ),( 3x^2+3y^2-1 , 6xy-1 ) | $

Nel caso in cui $(x,y)=(0,0)$ avrà determinante nullo.
Quindi per capire di che tipo di punti si tratta studio gli autovalori, che mi portano a concludere che la matrice è semidefinita negativa $\rArr$ è un punto di massimo locale.

Per gli altri due punti accade lo stesso, ma la matrice risulta essere semidefinita positiva $\rArr$ sono punti di minimo locale.

Inoltre si tratta sicuramente di punti di massimo e minimo locale dato che la funzione non è limitata, infatti

se mi muovo lungo la retta $(t,t)$ si ha $lim_(t->oo) (2t^2-1)(t^2-1/2) = +oo$ mentre se mi muovo lungo $(t,-t)$ si ha $lim_(t->oo) (2t^2-1)(-t^2-1/2) = -oo$ quindi la funzione è illimitata.


Grazie mille in anticipo

[Bokonon]

Mi pare ok