Analisi matematica di base
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Domande e risposte
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Salve a tutti. Qualcuno può aiutarmi nel calcolo dell'ordine di infinitesimo per $x->0$ della seguente funzione?
$f(x)=4^(1-cos(x^(1/2)))-2^x$
la f(x) equivale a $4^(1/2x)-2^x$ ?
Ma non ho ben capito come procedere,grazie per ogni eventuale risposta!
Chiedo conferma circa lo svolgimento del seguente esercizio. Non sono molto pratico di questi argomenti, quindi potrei andare a scrivere delle ignominie; in tal caso, chiedo venia.
Comincio con il primo punto
i) Studiare l'insieme \(\displaystyle C \subseteq \mathbb{R} \) di convergenza della serie di funzioni \[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2^{n} x)}{n^{n}} \]
Svolgimento:
Mi rifaccio al criterio di Weierstrass e noto che \[\displaystyle \sup_{x \in \mathbb{R}} \; \left| ...
Sono alle prese con lo studio qualitativo di questo problema di Cauchy :
$\{(y'=xy - x^3y^3),(y(0)=1):}$
Devo studiare la crescenza e decrescenza ed inoltre devo mostrare che è prolungabile a tutto $R$
Non ho problemi a studiare crescenza e decrescenza ma la difficoltà mi viene nella prolungabilità:
per mostrare che è prolungabile a $+infty$ sfrutto il fatto che essa dovrebbe essere compresa tra $y=0$ in quanto è soluzione stazionaria (e quindi non può attraversarla) e ...
Salve a tutti. Non so se ho capito bene questa dimostrazione, per cui la riscrivo per come l'ho capita io.
Enunciato. Sia $f:A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ differenziabile in $x_0 \in A$ interno ad $A$. Sia $x_0$ un punto di mimino (massimo) relativo. Allora $\nabla f(x_0)=0$.
Dimostrazione. Si sceglie $r$ come il minimo tra i due raggi degli intorni di $x_0$ per cui il punto è interno all'insieme e di minimo relativo (non sto a scriverlo, è lungo con ...
Ciao a tutti, non mi sono particolarmente chiari i passi corretti per studiare un problema di cauchy (come da oggetto).
Scrivo direttamente un esempio per essere "guidato" nella sua risoluzione.
$ { ( y' = 3sin(2x) - tg(x)y ),( y(0) = 1 ):} $
Ora dovrei vedere se ammette soluzione e se e' unica.
Teorema di Esist e Unicit in piccolo Se ${ f(x,y) = 3sin(2x) - tg(x)y }$ e' definita in un rettangolo${ I x J={|x-x0|<=a, |y-y0|<=b, a>0,b>0} }$ E f(x,y) e' continua su I x J E f(x,y) e' Lipshitziana in y e uniformemente risp a x, ALLORA esiste un unica soluzione ...
Salve a tutti.
Ho un problema con un esercizio di Analisi Reale/Analisi Funzionale, che in due parti diverse sembra portare a conclusioni quantomeno bizzarre, almeno dal mio punto di vista.
Esercizio. Sia \(\displaystyle (X,\mathcal{M},\mu) \) spazio con misura \(\displaystyle \sigma \)-finita. Sia $g\in L^{\infty}(\mu)$. Dato \(\displaystyle p \) con \(\displaystyle 1\le p \lt \infty \) si considera l'operatore lineare $T: L^p \to L^p$ dato da $Tf=fg$ (i.e. l'operatore di ...
Ciao a tutti, devo risolvere col metodo di separazione delle variabili il problema di dirichlet per l'equazione di Laplace sulla corona circolare (in coordinate polari):
\(\displaystyle \begin{cases}
\frac{\partial^{2}u}{\partial \rho^{2}}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u}{\partial \rho}+\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial^{2} u}{\partial \theta^{2}}=0 & \rho \epsilon (1,2) \theta \epsilon [0,2\pi] \\
u(1,\theta)=1 & per \theta \epsilon [0,2\pi] \\
u(2,\theta)=3 & per \theta \epsilon [0,2\pi] \\
...
Ciao, amici! Dato un polinomio di secondo grado in \(\boldsymbol{x}=(x_1,...,x_n)\) di tipo \((a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n-b_1)^2+...+(a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n-b_m)^2=||A\boldsymbol{x}-\boldsymbol{b}||^2=E^2(\boldsymbol{x})\) (con $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(RR)$ e \(\boldsymbol{b}=(b_1,...,b_m)\in\mathbb{R}^m\)) vorrei cercare di capire se, laddove il gradiente* \(\nabla E^2(\boldsymbol{x})=2 A^{\text{T}}A\boldsymbol{x}-2 A^{\text{T}} \boldsymbol{b}\) si annulla, si abbia sempre un minimo, come mi sembra di avere ...
"Determinare il dominio della funzione f(x,y) = log((2x+y)/(2x-y)) e rappresentarlo sul piano cartesiano"
Svolgendo i calcoli ottengo -2x
Ciao!
Gentilmente qualcuno potrebbe aiutare al determinare l'immagine di questa funzione
f(x,y)= $ ln ((x^2)-(y^2)) $
posting.php?mode=post&f=36#tabs
Di solito, riducevo la funzione in una funzione di una sola variabile prima con l'incognita x e y come parametro e viceversa. Infine l'intervallo dell'immagine della funzione era dato dall'unione delle immagini delle funzioni ad una sola variabile.
In questo caso quindi, l'intervallo è (- $ oo $ , + $ oo $ ) ?
Allora volevo chiedervi una cosa a proposito di questo problema sia per l'esistenza che per l'unicità:
-l'esistenza viene dimostrata se nel punto \(\displaystyle (x_0,y_0) \) esiste \(\displaystyle f(x,y) \) e \(\displaystyle f_y \) ed è continua rispetto al punto.Basta questo per affermare l'esistenza?E per dimostrarla globalmente cosa manca?
-l'unicità mi è invece dimostrata tramite i sistemi di equazioni differenziali.La domanda è,non riguardante la dimostrazione:
essa è effettivamente ...
Salve, per risolvere un integrale definito con valore assoluto non capisco come devo scegliere i nuovi estremi di integrazione.
Mi spiego meglio con un esempio:
$\int_{-3}^{2} (1-|x-1|) dx$
sappiamo che $|x-1|$ è uguale a:
$(1-x)$ per $x<1$
$(x-1)$ per $x>=1$
quindi considero gli integrali separati:
$\int_{...}^{...} (1-(1-x)) dx$ $+$ $\int_{...}^{...} (1-(x-1)) dx$
ma non capisco come scegliere i nuovi estremi d'integrazione. Come devo dividere in due parti ...
Siano:
$f(x)=(int_{0}^{x} |sin(x)|dx)$
$g(x)=x+arctgx+pi/2$
dimostrare che:
a) non esiste il $lim_(x->+infty) dotf(x)/dotg(x)$
b) esiste il $lim_(x->+infty) f(x)/g(x)$
questo è quindi un caso in cui, pur avendo una rapporto di forma indeterminata, non posso applicare l'Hopytal.
Relativamente al punto a), devo calcolare:
$lim_(x->+infty) (|sin(x)|/(1+1/(1+x^2)))$
che non esiste poichè il numeratore oscilla tra 0 e 1, e il denominatore tende a 1
non riesco a risolvere il punto b)
Potreste dimostrami che una isometria, in uno spazio metrico, é sempre uniformemente continua? C'entra qualcosa la lipschzianità? E poi, l'unione di una famiglia di insiemi limitati é un sottoinsieme limitato? In questo secondo caso é immediato su R, ovviamente!:) Ma non saprei generalizzarlo...Allora, se sono tutti uguali ovviamente l'unione é limitata dal raggio di una qualsiasi degli insiemi. Altrimenti, se sono diversi, tra loro c'é comunque una distanza massima, quindi prendendo questa ...
Sia $f:RR^2->RR$ data da $f(x,y)=$${\(x+ye^x se |y|>x^2),(x^2+ln1+arctg(y^2) se |y|<=x^2):}$
E' vero che f ammette derivate parziali in (0,0)?
E'vero che f soddisfa le ipotesi del teorema del diff. totale in (0,0)?
Vi prego aiutatemi non so da che partegirarmi!!!
Ciao a tutti, avrei bisogno che qualcuno controllasse se è giusto lo svolgimento del seguente esercizio:
Al variare di $ a in RR $ stabilire l'intervallo massimale di definizione della soluzione di
$ { ( y'=e^y(y^2-4) ),( y(0)=a ):} $
Io ho pensato di svolgerlo nel seguente modo:
1)Esistenza e unicità locale
La funzione $ f(t,y)=e^y(y^2-4) $ è continua su tutto $RR$ e anche la sua derivata rispetto a y $(del f)/(del y)(t,y)=e^y(y^2-4)+2ye^y$ è continua su tutto $RR$ quindi esiste unica soluzione locale ...
Ciao a tutti, ho qualche problema nella soluzione di questo problema:
Dato il sottoinsieme $ T $ di $ \mathbb{R}^3 $ definito da $ \{ (x,y,z) : 2(x^2 + y^2) \le z \le x+y \} $, chiamiamo $ C $ la proiezione di $ T $ sul piano $ (x,y) $.
Le consegne sono:
1) Disegnare con precisione $C$ a partire da un disegno approssimativo di $T$
2) Calcolare $ \int \int_{C} 2(x^2 +y^2) dx dy $ e interpretare geometricamente questo integrale.
3) Calcolare $ \int \int_{C} (x+y) dx dy $ e ...
Sia data la funzione $f$ definita su $(0,+infty)$
dimostrare che se $\lim_{x \to \+infty}dotf(x)=+infty$, allora la $f$ non ammette asintoti obliquo o orizzontale
la $f$ ammette asintoto orizzontale quando $\lim_{x \to \+infty}f(x)=+infty$
la $f$ ammette asintoto obliquo quando:
$\lim_{x \to \+infty}f(x)/x=m$
$\lim_{x \to \+infty}f(x)-mx=q$
non riesco a procedere
Salve propongo questo esercizio di teoria della misura assieme alla soluzione che mi è stata data.
ESERCIZIO (TESTO)
sia \( \varphi \in L^1(R^n) t.che \varphi (x) = 0\) per ogni x, \( |x|>1 \) e \( \int_{R^n} \varphi =0 \)
per ogni \( \epsilon >0 \) si ponga:
\( \varphi_\epsilon (x)= \epsilon^n \varphi (x/\epsilon) \).
posto poi 1 \( \leq p < \infty \) e presa \( f \in L^p(R^n) \) provare che \( || \varphi_\epsilon * f||_p \rightarrow 0 \) (con * prodotto di convoluzione)
SOLUZIONE ...
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