Condizione sulla derivata per esistenza asintoti

[chess71]

Sia data la funzione $f$ definita su $(0,+infty)$

dimostrare che se $\lim_{x \to \+infty}dotf(x)=+infty$, allora la $f$ non ammette asintoti obliquo o orizzontale


la $f$ ammette asintoto orizzontale quando $\lim_{x \to \+infty}f(x)=+infty$
la $f$ ammette asintoto obliquo quando:
$\lim_{x \to \+infty}f(x)/x=m$
$\lim_{x \to \+infty}f(x)-mx=q$
non riesco a procedere

[chess71]

forse non mi sono espresso bene.
Il quesito è relativo solo alle prime due righe (e la condizione verte sulla derivata prima, forse si legge male, quindi $y=x$ non regge)

quello che ho scritto poi sotto non è altro che l'esplicitazione delle condizioni di esistenza per asintoto orizzontale e obliquo, in modo da poterci ragionare sopra.

[chess71]

la $f$ deve essere definita su $(0,+infty)$

[chess71]

Ottimo!
Hai potuto applicare Hopytal perchè sappiamo che il limite esiste sulla derivata prima esiste.
Il viceversa non dovrebbe essere quindi sempre vero (cioè non è detto che se la $f$ ammette asintoto, allora il limite della derivata prima diverge)
corretto?

[chess71]

correzione: non è sempre vero che se funzione ammette asintoto obliquo il limite della derivata prima è finito

[dissonance]

Non sono d'accordo. Una funzione con grafico a zig-zag, per esempio, può avere asintoto orizzontale (caso particolare di asintoto obliquo) e avere derivata oscillante tra \(+1\) e \(-1\):
[asvg]xmin=0; xmax=7; ymin=-1; ymax=2;
axes(); var i=1; var xb=0;

for (i=1; i < 25; i++)
{
line([xb, 0], [xb+1/i, 1/i]);
line([xb+1/i, 1/i], [xb+2/i, 0]);
xb=xb+2/i;
}
text([6,2], "y=f(x)");[/asvg]
[asvg]xmin=0; xmax=7; ymin=-1; ymax=2;
axes(); var i=1; var xb=0;

for (i=1; i < 25; i++)
{
line([xb, 1], [xb+1/i, 1]);
line([xb+1/i, -1], [xb+2/i, -1]);
xb=xb+2/i;
}
text([6,2], "y=f'(x)");[/asvg]
Naturalmente nei punti di discontinuità la derivata non esiste. Ma secondo me, ammorbidendo gli spigoli si potrebbero fare esempi simili a questo dove però la funzione \(f\) è derivabile ovunque.

In conclusione io credo che, anche se una funzione ammette asintoto obliquo, non necessariamente la derivata prima è regolare ad infinito.

[dissonance]

Addendum: mi sono accorto, rileggendo, che Sergio parlava di "derivata non finita per \(x \to +\infty\)", mentre io ho cercato di fornire un esempio di funzione con asintoto obliquo e derivata non regolare per \(x \to +\infty\). Non è la stessa cosa.

Poco male: adattando la stessa idea del grafico a triangoli, si può costruire un esempio di funzione con asintoto orizzontale e derivata oscillante tra valori sempre più grandi in magnitudine. Spero sia chiaro cosa intendo, altrimenti cercherò di tornarci più tardi (per quanto mi diletti tantissimo discutere qui sopra, ora è il caso che vada a studiare).