Dimostrazione Teorema di Fermat in più variabili
Salve a tutti. Non so se ho capito bene questa dimostrazione, per cui la riscrivo per come l'ho capita io.
Enunciato. Sia $f:A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ differenziabile in $x_0 \in A$ interno ad $A$. Sia $x_0$ un punto di mimino (massimo) relativo. Allora $\nabla f(x_0)=0$.
Dimostrazione. Si sceglie $r$ come il minimo tra i due raggi degli intorni di $x_0$ per cui il punto è interno all'insieme e di minimo relativo (non sto a scriverlo, è lungo con Latex e so farlo).
Definisco la funzione $\varphi(t)=f(x_0+tv)$, per cui $0$ è per ipotesi un punto di minimo. Dunque ottengo una funzione $\varphi(t)$ in cui $\exists I: \forall t \in I, \varphi(t)>\varphi(0)$. A questo punto applico il Teorema di Fermat per le funzioni di una variabile reale ed ottengo $\varphi'(0)=0$ e, riscrivendo il tutto come $f$, ottengo
$\frac{partial f}{\partial v}(x_0)=0$ e, scegliendo $v=e_i$ dove gli $e_i$ sono gli elementi della base canonica di $\mathbb{R}^n$ ottengo finalmente che
\[\nabla f(x_0)=0.\]
È giusto? Grazie a tutti.
Enunciato. Sia $f:A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ differenziabile in $x_0 \in A$ interno ad $A$. Sia $x_0$ un punto di mimino (massimo) relativo. Allora $\nabla f(x_0)=0$.
Dimostrazione. Si sceglie $r$ come il minimo tra i due raggi degli intorni di $x_0$ per cui il punto è interno all'insieme e di minimo relativo (non sto a scriverlo, è lungo con Latex e so farlo).
Definisco la funzione $\varphi(t)=f(x_0+tv)$, per cui $0$ è per ipotesi un punto di minimo. Dunque ottengo una funzione $\varphi(t)$ in cui $\exists I: \forall t \in I, \varphi(t)>\varphi(0)$. A questo punto applico il Teorema di Fermat per le funzioni di una variabile reale ed ottengo $\varphi'(0)=0$ e, riscrivendo il tutto come $f$, ottengo
$\frac{partial f}{\partial v}(x_0)=0$ e, scegliendo $v=e_i$ dove gli $e_i$ sono gli elementi della base canonica di $\mathbb{R}^n$ ottengo finalmente che
\[\nabla f(x_0)=0.\]
È giusto? Grazie a tutti.
Risposte
Ok. Specifica bene chi è \(I\), se vuoi essere proprio puntiglioso: si tratta dell'intervallo \(I=(-r/\lvert v \rvert, r/\lvert v\rvert)\).
"dissonance":
Ok. Specifica bene chi è \(I\), se vuoi essere proprio puntiglioso: si tratta dell'intervallo \(I=(-r/\lvert v \rvert, r/\lvert v\rvert)\).
Giusto! Sì, devo essere più che puntiglioso con la mia prof... E poiché $v$ è un versore, $I=(-r,r)$.
Grazie mille!
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