Studio qualitativo di un problema di Cauchy
Sono alle prese con lo studio qualitativo di questo problema di Cauchy :
$\{(y'=xy - x^3y^3),(y(0)=1):}$
Devo studiare la crescenza e decrescenza ed inoltre devo mostrare che è prolungabile a tutto $R$
Non ho problemi a studiare crescenza e decrescenza ma la difficoltà mi viene nella prolungabilità:
per mostrare che è prolungabile a $+infty$ sfrutto il fatto che essa dovrebbe essere compresa tra $y=0$ in quanto è soluzione stazionaria (e quindi non può attraversarla) e la sopra soluzione $y=1/x$, quindi la mia funzione dovendo rimanere confinata all' interno di tali funzioni dovrebbe essere prolungabile a $+infty$. $y=1/x$ però tende asintoticamente all' asse $x$ mentre la mia funzione sotto il ramo di questa iperbole dovrebbe avere un comportamento crescente il che è in contrasto con il fatto che $y=1/x$ è una sopra soluzione in quanto non potrebbe mai incontrarla passando da sotto a sopra. Quindi vi chiedo dove è che il mio ragionamento sbaglia? Come faccio a dimostrare la sua prolungabilità a $+infty$?
Per favore datemi una mano, voglio togliermi questi dubbi! Grazie in anticipo!
$\{(y'=xy - x^3y^3),(y(0)=1):}$
Devo studiare la crescenza e decrescenza ed inoltre devo mostrare che è prolungabile a tutto $R$
Non ho problemi a studiare crescenza e decrescenza ma la difficoltà mi viene nella prolungabilità:
per mostrare che è prolungabile a $+infty$ sfrutto il fatto che essa dovrebbe essere compresa tra $y=0$ in quanto è soluzione stazionaria (e quindi non può attraversarla) e la sopra soluzione $y=1/x$, quindi la mia funzione dovendo rimanere confinata all' interno di tali funzioni dovrebbe essere prolungabile a $+infty$. $y=1/x$ però tende asintoticamente all' asse $x$ mentre la mia funzione sotto il ramo di questa iperbole dovrebbe avere un comportamento crescente il che è in contrasto con il fatto che $y=1/x$ è una sopra soluzione in quanto non potrebbe mai incontrarla passando da sotto a sopra. Quindi vi chiedo dove è che il mio ragionamento sbaglia? Come faccio a dimostrare la sua prolungabilità a $+infty$?
Per favore datemi una mano, voglio togliermi questi dubbi! Grazie in anticipo!
Risposte
Up! Nessuno è in grado di darmi una mano?
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