Teorema di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy

[Dragon God]

Allora volevo chiedervi una cosa a proposito di questo problema sia per l'esistenza che per l'unicità:
-l'esistenza viene dimostrata se nel punto \(\displaystyle (x_0,y_0) \) esiste \(\displaystyle f(x,y) \) e \(\displaystyle f_y \) ed è continua rispetto al punto.Basta questo per affermare l'esistenza?E per dimostrarla globalmente cosa manca?
-l'unicità mi è invece dimostrata tramite i sistemi di equazioni differenziali.La domanda è,non riguardante la dimostrazione:
essa è effettivamente valida per l'equazioni non in sistemi lineari?E in caso di risposta negativa e/o positiva,perchè?Grazie mille

[gugo82]

Che libro stai usando?

[Dragon God]

"gugo82":Che libro stai usando?

Sto usando Calcolo 2 dell'apostol

[Luca.Lussardi]

Per l'esistenza, in piccolo, basta la continuità di $f$ (teorema di Peano); per l'esistenza ed unicità in piccolo basta la lipschitzianità locale di $f$ rispetto a $y$ e infine i teoremi globali sono di vario tipo, per esempio $f$ sottolineare o globalmente lipschitz.

[gugo82]

"Dragon God":[quote="gugo82"]Che libro stai usando?

Sto usando Calcolo 2 dell'apostol[/quote]
Ok. E scusa se sono stato ineducato (non si dovrebbe rispondere ad una domanda con un'altra domanda), ma era pura e semplice curiosità.

Comunque, nota che una singola equazione non è altro che un sistema "ridotto all'osso"; quindi tutto ciò che si dice per i sistemi vale anche per le singole equazioni (mentre il viceversa non è sempre vero).

Per il resto, mi sento di consigliarti vivamente le dispense segnalate qui.

[Dragon God]

Grazie è stato molto utile.Grazie anche a questo ho passato calcolo 2.Grazie mille a tutta la community che mi ha aiutato