Analisi matematica di base

Ciao a tutti. Ho un piccolo dubbio sui limiti destri e sinistri di una funzione, ad esempio: $f(x) = (2x)/(x^2+2x-8)$ Devo trovare il limite (se esiste in $x=-4$) quindi procedo cercando il limite destro e sinistro in $x=-4$: $lim_(x\to-4^-)(2x)/(x^2+2x-8) =(2(-4^-))/((-4^-)^2+2(-4^-)-8) = (-8^-)/((16^-)+(-8^-)-8)= (-8^-)/((16^-)-16^-) = (-8^-)/0 = -\infty$ $lim_(x\to-4^+)(2x)/(x^2+2x-8) =(2(-4^+))/((-4^+)^2+2(-4^+)-8) = (-8^+)/((16^+)+(-8^+)-8)= (-8^+)/((16^+)-16^+) = (-8^+)/0 = -\infty$ in queto caso dovrebbe essere $+\infty$.. non credo di aver capito come i $+$ e $-$ all'esponente influiscano sul risultato... io ho pensato $(16^-) = (16^-)$ quindi posto ...

Buongiorno a tutti, sono alle prese con un problema che ha portato alla formulazione di un'equazione differenziale a coefficienti variabili. Essa è: y'' + sen(x) sen (y) = 0 Non sono in grado di risolverla e non riesco a trovare letteratura a supporto. Qualcuno può aiutarmi? In caso fosse troppo difficile, si può trattare la forma: y'' + sen(x) y = 0 Grazie in anticipo a tuti. EffeVu

Ciao a tutti, sto ripassando un po' di analisi e mi sono imbattuto in un problema di cui non riesco a capire la differenza fra i due quesiti che vengono posti. Lo trascrivo. Siano $f,g : [-1,1] rarr RR$ definite da $f(x) = x^2 - x$ e $g(x) = x^2 + x$ Si dica, giustificando la risposta, se esiste $c in (-1,1)$ (non ho trovate le quadre al contrario ed ho usato le tonde per indicare l'esclusione degli estremi dell'intervallo) tale che 1) $g'(c)[f(1)-f(-1)] = f'(c)[g(1) - g(-1)]$ e se esiste $c in (-1,1)$ tale ...

Salve una domanda di teoria che mi sono posto: ha qualche fine preciso o uso preciso il fatto che in $R^n$ tutte le norme siano equivalenti? (ci sarebbe la dimostrazione, ma il mio scopo è capire come 'si usa' questa norma e perchè...) grazie

Dimostrare o confurare che: esiste $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $f \in \mathcal{C}^1, | f' | \leq 1, f(-1)=f(1)=0, f(0)=1$. Scusatemi se è un esercizio stupido, ma non mi viene in mente come risolverlo... Mi troverei di confutare, perchè immagino che debba esserci una singolarità nella derivata in zero per una funzione fatta così. Ma non mi viene in mente come procedere...

Buonasera, Dallo studio dell'analisi in più variabili mi sorge questo dubbio: La non esistenza di una derivata parziale in un punto $x_0$ implica la non differenziabilità della funzione in $x_0$? La risposta che mi viene spontanea è sì, infatti se $f$ è differenziabile in $x_0$ $=>$ $EE$ $D_v$ $f(x_0)$ $AA$ $v$ $in$ all'insieme di defizione. E' in ...

Il teorema può essere espresso nel modo seguente? Sul mio testo credo di aver capito che: Sia $f: A \subseteq R^n ->R^n$ e $x_0 \in A$ se $J_f (x_0)$ è invertibile allora la funzione è localmente invertibile, cioè esiste un intorno $U$ (non capisco perchè deve essere aperto) in $x_0$ e $V$ in $f(x_0)$ tali che $f: U -> V$ è biunivoca Perchè anche $A$ deve essere aperto, come in tanti altri teoremi? Grazie mille

Salve gente Devo dimostrare che, se $1>a\in RR^+$, $\forall n\in\mathbb{N}\setminus\{0,1\}$ si ha che \[1-na

$\int_{1}^{2} (1/(sqrt(x-1)+logx)) dx$ studiare se l'integrale è convergente $\lim_{x \to 1^+}(1/(sqrt(x-1)+logx) / (1/(x-1))^\alpha)$ $=\lim_{x \to 1^+}((x-1)^\alpha)/(sqrt(x-1)+logx) = 1$ $\alpha = 1/2$ converge $0<=\alpha<=1$ é giusto?

Considero la successione di funzioni definita da $f_n(x)=1/nlog(1+e^(nx))$. Per $x=0$ si ottiene la successione $f_n(0)=1/nlog2$ e si ha $\lim_{n \to \infty}f_n(0)=\lim_{n \to \infty}1/nlog2=0$. Fissato $x<0$ si ha $\lim_{n \to \infty}1/nlog(1+e^(nx))=0$. Fissato $x>0$ si ha $\lim_{n \to \infty}1/nlog(1+e^(nx))=\lim_{n \to \infty}xe^(nx)/(1+e^(nx))=x$. Quindi la successione $f_n$ converge puntualmente alla funzione $f(x)={(0,if x<0),(x,if x>=0):}$ su tutto $RR$. $\lim_{n \to \infty}"sup"_(x\in(-oo,0])|1/nlog(1+e^nx)-0|=\lim_{n \to \infty}1/nlog(2)=0$ perchè $d/(dx)(1/nlog(1+e^nx)-0)=e^(nx)/(1+e^(nx))>0AAx\in(-oo,0]$. $\lim_{n \to \infty}"sup"_(x\in[0,+oo))|1/nlog(1+e^nx)-x|=\lim_{n \to \infty}1/nlog(2)=0$ perchè $d/(dx)(1/nlog(1+e^nx)-x)=-1/(1+e^(nx))<0AAx\in[0,+oo)$. Quindi la ...

$\lim_{x \to +\infty}(log(x-2)-logx-3log(1/x))/(cos(1/x)-1)$ $=\lim_{x \to +\infty}((log(x-2)/x)-(3sen(1/x)/(1/x)))/(-(1-cos(1/x)/(1/x^2))1/x^2)$ $=\lim_{x \to +\infty}(-3/x)(-2x^2)$ $=6x=+\infty$ io l'ho svolto i questo modo, chi mi sa dire se è giusto?

Ciao ragazzi, è il mio primo post. Mi servirebbe una mano per alcuni esercizi da svolgere nella prova intercorso di Matematica Discreta. Sareste così gentili da spiegarmi passo passo come si risolvono questi esercizi? Un grazie col cuore. Ecco gli esercizi: 1) Siano A, B, C tre insiemi tali che A ∩ B = C, B ∩ C = A e C ∩ A = B. Provare che A = B = C. Enunciare le leggi di De Morgan per gli insiemi. 2) Dimostrare che per ogni n>=3, si ha che n^2 > 2n + 1.

Salve a tutti. Mi sono imbattuto in questo integrale: $\int_{-1}^{1} sin^2\theta d(cos\theta) $ e il risultato è $4/3$ ma non capisco perché. Ho provato a risolverlo col metodo dell'integrazione per sostituzione eseguendo il cambio di variabile $cos\theta$ $rarr$ $t$ ma non ottengo il risultato indicato. Potete spiegarmi dove sbaglio, o se c'è un errore nel risultato proposto? Grazie mille

Ciao a tutti Ho la funzione integrale $f(x)=int_x^(+ infty) g(t)=int_x^(+infty) arctan(1/t)/(t^2-t) dt$ Devo: 1) Cercarne il dominio; 2) Disegnarne il grafico. 1) Prima controllo che l'integrale abbia senso controllando la convergenza a $+infty$: $lim_(t to +infty) arctan(1/t)/(t^2-t) = (0 text( di ordine ?))/(+infty text( di ordine )2)$ Poiché non conosco l'ordine di infinitesimo del numeratore, me lo calcolo a parte rapportandolo con l'infinitesimo campione: $lim_(u to +infty) arctan(1/u)/(1/u)^alpha=0/0=text(Hopital)Rightarrow (-1/(u^2+1))/(-alpha u^(-alpha-1))=(0 text( di ordine 2))/(0 text( di ordine )alpha +1)=l Leftrightarrow 2=alpha+1 Rightarrow alpha=1$ quindi l'arcontengente in questione è infinitesimo di ordine 1, e perciò: $lim_(t to +infty) arctan(1/t)/(t^2-t) = (0 text( di ordine )1)/(+infty text( di ordine )2)=0 text( di ordine )1 (=2-1)$ ...

Ciao a tutti, ho una perplessità riguardo la seguente equazione: $ bar(z)^3 = 3z $ posso scrivere: $ p^3(cos(-3del) + isin(-3del)) = 3p(cos(del)+isin(del)) $ il mio problema non riguarda l'equazione ma una riscrittura di quanto scritto: $ 3p(cos(-del)+isin(-del)) = p^3(cos(3del) + isin(3del)) $ Non riesco a capire il perchè di quel - all'argomento! Grazie!

come si trova la rappresentazione parametrica di una funzione come $ f(x)=ln(cos(x)) $ ??? grazie

Consideriamo la funzione di Dirichlet. Per questa funzione ha senso chiedersi se è integrabile secondo Riemann, però poi si scopre che essa non lo è. Prendiamo, invece, la funzione $x^2$ se $x in [0,4]$, $8$ se $x in [6,10]$. Per questa funzione non ha proprio senso chiedersi se è integrabile secondo Riemann. E' giusto?

Per completezza per spazio metrico intendo un qualunque insieme $E$ non vuoto munito di distanza $d$ Sia $(E,d)$ spazio metrico. E siano $l_1,l_2 in E , l_1!=l_2$. Allora $EE V in I_(l_1) , U in I_(l_2) : VnnU$ è vuota. (ove stavolta la distanza che definisce gli intorni è $d$. Ho provato a darne una dimostrazione. dim : Procedo per assurdo. Pongo $r=(d(l_1,l_2))/2$ E considero due sfere del tipo $V=I(l_1, r) ={x in E | d(x,l_1)<r}$ e $U={x in E | d(x,l_2)<r}$. $x in VnnU <=> d(x,l_1)<r ^^ d(x,l_2)<r$ Se valgono ...

Salve a tutti! Ho la successione di funzioni di termini $fn(x)=sqrt(2)/pi*arctan(nx)$ e devo studiarmi l'inisieme di convergenza puntuale della successione, che se non erro e tutto $R$ e in particolare converge ad una funzione che vale $0$ in $0$ $1$ per $x>0$ $-1$ per $x<0$ ora per trovare la convergenza uniforme, non riesco a identificare il Sup, dovrebbe essere uno tra $|sqrt(2)/pi*arctan(nx)-1|$ per ...

ciao ho questo semplice esercizio da proporre, al quale non riesco ad arrivare ad un capo per quale funzione $f(x)$ l equazione $f(x) +1 + x^2 =0$ ha soluzione nell intervallo $[0,1]$ le risposte sono: $f(x)=1+ e^(-x)$ $f(x)= e^x - 1$ $f(x)= e^(-x) -1$ $f(x)= e^x -3$ io non so propeio da dove partire per fare delle considerazioni ho provato a sostituire la funzione nell equaizone e a calcolare ma non riesco a capire come inserire la condizione di ristrezione dell ...