Inversa di funzione a due variabili

[Sk_Anonymous]

Supponiamo di avere una funzione \(\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) lipschitziana con \(\displaystyle \text{Lip}(f)<1 \) e di definire un'altra funzione \(\displaystyle F: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^2 \) come segue: \[\displaystyle F(x,y) = (x+ f(x),y+f(y)) \]Se provo che \(\displaystyle F \) è biiettiva cosa posso dire della sua inversa (in particolare vorrei verificare se è anch'essa lipschitziana)? Voglio dire, sapendo che \(\displaystyle \forall \; (a,b) \in \mathbb{R}^2 \) posso trovare \(\displaystyle (x,y) \in \mathbb{R}^2 \) t.c. \(\displaystyle a=x+f(x) \) e \(\displaystyle b=y+f(y) \), ha senso considerare la mappa inversa \[\displaystyle F^{-1}(a,b)=F^{-1}(x+f(x),y+f(y))=(x,y) \] sapendo appunto che ogni punto \(\displaystyle (a,b) \) si può "scomporre" come somma tra \(\displaystyle (x,y) \) e le rispettive immagini tramite \(\displaystyle f \), e procedere quindi con i conti?

Edit. Infatti osservo che lipschitzianità non implica necessariamente derivabilità, e quindi non ho la certezza di poter utilizzare la formula citata qui ad \(\displaystyle x + f(x) \).