Determinare per quali punti la funzione è differenziabile
ciao a tutti, potreste aiutarmi con questo esercizio? Praticamente devo determinare in quali punti del piano o la funzione
$z=x^{1/3}y$
è differenziabile.
Per prima cosa ricavo le derivate parziali e verifico per quali punti del piano esistono
$z_y=x^{1/3}$
$z_x=1/3y \frac{1}{x^{2/3}}$
La derivata parziale rispetto a y non mi da problemi ed continua per ogni punto, mentre la derivata parziale rispetto ad x, devo verificare che è continua in 0, facendo il limite del rapporto incrementale. Cioè, essa non è definita su tutto l'asse delle y esatto?
Il limite del rapporto incrementale da effettuare per verificare se la derivata parziale rispetto x è continua o meno, è il seguente?
$ lim_{h\to 0}{z(h,y)-z(0,y)}/h$
$z=x^{1/3}y$
è differenziabile.
Per prima cosa ricavo le derivate parziali e verifico per quali punti del piano esistono
$z_y=x^{1/3}$
$z_x=1/3y \frac{1}{x^{2/3}}$
La derivata parziale rispetto a y non mi da problemi ed continua per ogni punto, mentre la derivata parziale rispetto ad x, devo verificare che è continua in 0, facendo il limite del rapporto incrementale. Cioè, essa non è definita su tutto l'asse delle y esatto?
Il limite del rapporto incrementale da effettuare per verificare se la derivata parziale rispetto x è continua o meno, è il seguente?
$ lim_{h\to 0}{z(h,y)-z(0,y)}/h$
Risposte
"Nick_93":
La derivata parziale rispetto a y non mi da problemi ed continua per ogni punto, mentre la derivata parziale rispetto ad x, devo verificare che è continua in 0, facendo il limite del rapporto incrementale. Cioè, essa non è definita su tutto l'asse delle y esatto?
Esatto, ma non "maiuscolare". Se proprio vuoi risaltare qualcosa sottolinea oppure metti in corsivo.
Comunque, se già l'hai fatto (a lezione) puoi dire che, dove esiste, la $z_x$ è continua perché somma/prodotto/composizione di funzioni continue.
Comunque, se già l'hai fatto (a lezione) puoi dire che, dove esiste, la zx è continua perché somma/prodotto/composizione di funzioni continue.
Ok. Quindi come con le funzioni a una solo variabili, l'esistenza non presuppone la continuità. Inoltre mi confermi che la funzione non esiste su tutto l'asse delle x, e nemmeno la derivata esiste sull'asse delle x? Per il resto dei punti le derivate parziali esistono e sono continue, quindi la funzione è differenziabile solo per il punti al di fuori dell'asse delle y?
La funzione di partenza era, se non erro, $z=x^(1/3) y$.
Premetto che non sono una cima nelle equazioni in più variabili quindi invito caldamente chiunque abbia voglia di intervenire a farlo (soprattutto se sparo cavolate).
Comunque per $x=0$ esiste perché la radice $n-$esima di zero (quindi anche cubica) è sempre zero: è la derivata che non c'è.
Attenzione: ricordo che $x=0$ è l'asse delle $y$, non delle $x$.
Premetto che non sono una cima nelle equazioni in più variabili quindi invito caldamente chiunque abbia voglia di intervenire a farlo (soprattutto se sparo cavolate).
Comunque per $x=0$ esiste perché la radice $n-$esima di zero (quindi anche cubica) è sempre zero: è la derivata che non c'è.
Attenzione: ricordo che $x=0$ è l'asse delle $y$, non delle $x$.
Ok, chiaro! Ti ringrazio =)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo