Studio convergenza successione di funzioni
Considero la successione di funzioni definita da $f_n(x)=1/nlog(1+e^(nx))$.
Per $x=0$ si ottiene la successione $f_n(0)=1/nlog2$ e si ha $\lim_{n \to \infty}f_n(0)=\lim_{n \to \infty}1/nlog2=0$.
Fissato $x<0$ si ha $\lim_{n \to \infty}1/nlog(1+e^(nx))=0$.
Fissato $x>0$ si ha $\lim_{n \to \infty}1/nlog(1+e^(nx))=\lim_{n \to \infty}xe^(nx)/(1+e^(nx))=x$.
Quindi la successione $f_n$ converge puntualmente alla funzione $f(x)={(0,if x<0),(x,if x>=0):}$ su tutto $RR$.
$\lim_{n \to \infty}"sup"_(x\in(-oo,0])|1/nlog(1+e^nx)-0|=\lim_{n \to \infty}1/nlog(2)=0$ perchè $d/(dx)(1/nlog(1+e^nx)-0)=e^(nx)/(1+e^(nx))>0AAx\in(-oo,0]$.
$\lim_{n \to \infty}"sup"_(x\in[0,+oo))|1/nlog(1+e^nx)-x|=\lim_{n \to \infty}1/nlog(2)=0$ perchè $d/(dx)(1/nlog(1+e^nx)-x)=-1/(1+e^(nx))<0AAx\in[0,+oo)$.
Quindi la successione $f_n$ converge uniformemente alla funzione $f$ su tutto $RR$.
Corretto?
Per $x=0$ si ottiene la successione $f_n(0)=1/nlog2$ e si ha $\lim_{n \to \infty}f_n(0)=\lim_{n \to \infty}1/nlog2=0$.
Fissato $x<0$ si ha $\lim_{n \to \infty}1/nlog(1+e^(nx))=0$.
Fissato $x>0$ si ha $\lim_{n \to \infty}1/nlog(1+e^(nx))=\lim_{n \to \infty}xe^(nx)/(1+e^(nx))=x$.
Quindi la successione $f_n$ converge puntualmente alla funzione $f(x)={(0,if x<0),(x,if x>=0):}$ su tutto $RR$.
$\lim_{n \to \infty}"sup"_(x\in(-oo,0])|1/nlog(1+e^nx)-0|=\lim_{n \to \infty}1/nlog(2)=0$ perchè $d/(dx)(1/nlog(1+e^nx)-0)=e^(nx)/(1+e^(nx))>0AAx\in(-oo,0]$.
$\lim_{n \to \infty}"sup"_(x\in[0,+oo))|1/nlog(1+e^nx)-x|=\lim_{n \to \infty}1/nlog(2)=0$ perchè $d/(dx)(1/nlog(1+e^nx)-x)=-1/(1+e^(nx))<0AAx\in[0,+oo)$.
Quindi la successione $f_n$ converge uniformemente alla funzione $f$ su tutto $RR$.
Corretto?
Risposte
Puoi spiegarmi il passaggio che ti porta a dire che il limite puntuale di $f_n$ per $x>0$ è $x$ ?
Ho una forma indeterminata del tipo $oo/oo$ dunque applico de l'Hôpital ed ottengo che il limite vale $x$...se non ho sbagliato i conti.
Senza il teorema del marchese si fa così:
\[
\begin{split}
\lim_n \frac{1}{n}\ \log (1+e^{nx}) &= \lim_n \frac{1}{n}\ \log \Big( e^{nx} (1+e^{-nx})\Big)\\
&= \lim_n \frac{1}{n}\ \Big( \log e^{nx} +\log (1+e^{-nx})\Big)\\
&= \lim_n \frac{1}{n}\ \Big( nx +\log (1+e^{-nx})\Big)\\
&= \lim_n \Big( x +\frac{1}{n}\ \log (1+e^{-nx})\Big)\\
&= x+\lim_n \frac{1}{n}\ \underbrace{\log (1+e^{-nx})}_{\color{maroon}{\approx e^{-nx}}} \\
&= x+\lim_n \frac{1}{n}\ e^{-nx}\\
&= x+0\\
&=x\; .
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
\lim_n \frac{1}{n}\ \log (1+e^{nx}) &= \lim_n \frac{1}{n}\ \log \Big( e^{nx} (1+e^{-nx})\Big)\\
&= \lim_n \frac{1}{n}\ \Big( \log e^{nx} +\log (1+e^{-nx})\Big)\\
&= \lim_n \frac{1}{n}\ \Big( nx +\log (1+e^{-nx})\Big)\\
&= \lim_n \Big( x +\frac{1}{n}\ \log (1+e^{-nx})\Big)\\
&= x+\lim_n \frac{1}{n}\ \underbrace{\log (1+e^{-nx})}_{\color{maroon}{\approx e^{-nx}}} \\
&= x+\lim_n \frac{1}{n}\ e^{-nx}\\
&= x+0\\
&=x\; .
\end{split}
\]
Quindi confermate che la convergenza è sia puntuale che uniforme su tutto $RR$?
"thedarkhero":
Quindi confermate che la convergenza è sia puntuale che uniforme su tutto $RR$?
Beh,ad esser sincero ne sarei sorpreso;
posto da un cellulare che non supporta il Tex ma,
da quel che deduco trasformandomi in "compilatore umano",
la funzione limite,
da te ben dedotta,
non è continua in tutto[\u] $RR$,
e dunque mi sà che,
se fosse come ipotizzi, s'andrebbe vagamente in contrasto col teorema,
a noi tanto caro,
sulla continuità in $X$ della funzione cui converge uniformemente una successione di funzioni,
tutte continue nel loro comune dominio $X$:
se ho ragione l'errore dovrebbe esser nel procedimento di passaggio al limite di quella successione d'estremi superiori
(o più probabilmente nel modo in cui ne hai calcolato il termine generale..),
ma nel caso cerca tu che quel compilatore ha già fatto attaccare la ventola di raffreddamento del mio,
ormai un pò vetusto,
hardware!
Saluti dal web.
P.S.La condizione d'uniforme convergenza,
sebbene nella definizione si differenzi "di poco" con quella puntuale,
nella pratica è notevolmente più "stretta";
la "sorpresa",dunque,
è quando vien rispettata:
e quando ciò avviene bisogna far di tutto per giustificarsi un "evento" di tali proporzioni..
La funzione limite che ho scritto io è $f(x)={(0,if x<0),(x,if x>=0):}$.
Essendo le funzioni $g(x)=0$ e $h(x)=x$ continue su tutto $RR$ l'unico punto in cui la continuità di $f$ potrebbe mancare è il punto $0$.
Tuttavia $\lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^-}0=0$, $\lim_{x \to 0^+}f(x)=\lim_{x \to 0^+}x=0$ e $f(0)=0$, quindi $f$ è continua anche in $0$.
Se non ho sbagliato i conti dovrei aver quindi rispettato il fatto che il limite uniforme di una successione di funzioni continue è una funzione continua...
Essendo le funzioni $g(x)=0$ e $h(x)=x$ continue su tutto $RR$ l'unico punto in cui la continuità di $f$ potrebbe mancare è il punto $0$.
Tuttavia $\lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^-}0=0$, $\lim_{x \to 0^+}f(x)=\lim_{x \to 0^+}x=0$ e $f(0)=0$, quindi $f$ è continua anche in $0$.
Se non ho sbagliato i conti dovrei aver quindi rispettato il fatto che il limite uniforme di una successione di funzioni continue è una funzione continua...
@theras: Il limite calcolato è continuo in \(\mathbb{R}\) (in gergo ingegneristico, il limite è la "funzione rampa".)
@ thedrakhero: Per quanto riguarda la convergenza uniforme, nota che:
\[
\begin{split}
f_n(x)-f(x) &= \begin{cases} \tfrac{1}{n}\ \log (1+e^{nx}) &\text{, se } x\leq 0\\
\tfrac{1}{n}\ \log (1+e^{nx}) -x &\text{, se } x\geq 0
\end{cases}\\
&= \begin{cases} \tfrac{1}{n}\ \log (1+e^{nx}) &\text{, se } x\leq 0\\
\tfrac{1}{n}\ (\log (1+e^{nx}) -\log e^{nx}) &\text{, se } x\geq 0
\end{cases} \\
&= \begin{cases} \tfrac{1}{n}\ \log (1+e^{nx}) &\text{, se } x\leq 0\\
\tfrac{1}{n}\ \log (1+e^{-nx}) &\text{, se } x\geq 0
\end{cases} \\
&= \frac{1}{n}\ \log (1+e^{-n|x|})
\end{split}
\]
quindi la funzione \(f_n-f\) è pari, positiva ed evidentemente decrescente [risp. crescente] in \([0,+\infty[\) [risp. \(]-\infty ,0]\)]; ne viene:
\[
\sup_{\mathbb{R}} |f_n-f| =f_n(0)-f(0) = \frac{1}{n}\ \log 2
\]
e perciò la successione converge uniformemente.
@ thedrakhero: Per quanto riguarda la convergenza uniforme, nota che:
\[
\begin{split}
f_n(x)-f(x) &= \begin{cases} \tfrac{1}{n}\ \log (1+e^{nx}) &\text{, se } x\leq 0\\
\tfrac{1}{n}\ \log (1+e^{nx}) -x &\text{, se } x\geq 0
\end{cases}\\
&= \begin{cases} \tfrac{1}{n}\ \log (1+e^{nx}) &\text{, se } x\leq 0\\
\tfrac{1}{n}\ (\log (1+e^{nx}) -\log e^{nx}) &\text{, se } x\geq 0
\end{cases} \\
&= \begin{cases} \tfrac{1}{n}\ \log (1+e^{nx}) &\text{, se } x\leq 0\\
\tfrac{1}{n}\ \log (1+e^{-nx}) &\text{, se } x\geq 0
\end{cases} \\
&= \frac{1}{n}\ \log (1+e^{-n|x|})
\end{split}
\]
quindi la funzione \(f_n-f\) è pari, positiva ed evidentemente decrescente [risp. crescente] in \([0,+\infty[\) [risp. \(]-\infty ,0]\)]; ne viene:
\[
\sup_{\mathbb{R}} |f_n-f| =f_n(0)-f(0) = \frac{1}{n}\ \log 2
\]
e perciò la successione converge uniformemente.
Certo ragazzi,scusatemi
(non posso nemmeno sceglier lo smile idoneo per le gaffe, perdincibacco..),
ed in particolar mondo l'eroe se gli ho fatto perder tempo:
vedo solo ora,
che G. ha dato un nome a quella f che m'era sembrata "a gradini",
come il sovraccarico della ventola stamattina ha compromesso il mio nervo ottico
(lettore,pardon..)
e m'abbia fatto leggere fischi per fiaschi..
Non posto più,
senza pc,giurin giuretta:
ma neanche compro l'I-$n$,
per poi usarlo per correre su FB a snocciolare le ingiustizie del mondo..
Saluti dal web.
(non posso nemmeno sceglier lo smile idoneo per le gaffe, perdincibacco..),
ed in particolar mondo l'eroe se gli ho fatto perder tempo:
vedo solo ora,
che G. ha dato un nome a quella f che m'era sembrata "a gradini",
come il sovraccarico della ventola stamattina ha compromesso il mio nervo ottico
(lettore,pardon..)
e m'abbia fatto leggere fischi per fiaschi..
Non posto più,
senza pc,giurin giuretta:
ma neanche compro l'I-$n$,
per poi usarlo per correre su FB a snocciolare le ingiustizie del mondo..
Saluti dal web.
Ottimo, grazie a entrambi! 
Ora voglio studiare la convergenza puntuale e uniforme della successione delle derivate $(f_n')_(n\inNN)$.
Ho che $f_n'(x)=e^(nx)/(1+e^nx)$.
Se $x=0$ si ha $f_n'(0)=1/2$ e $\lim_{n \to \infty}1/2=1/2$.
Se $x>0$ si ha che $\lim_{n \to \infty}f_n'(x)=\lim_{n \to \infty}e^(nx)/(1+e^nx)=\lim_{n \to \infty}1/(1/e^(nx)+1)=1$.
Se $x<0$ si ha che $\lim_{n \to \infty}f_n'(x)=\lim_{n \to \infty}e^(nx)/(1+e^nx)=0$.
Quindi la successione di funzioni $(f_n')_(n\inNN)$ converge puntualmente alla funzione $g(x)={(0,if x<0),(1/2,if x=0),(1,if x>0):}$ su tutto $RR$.
Per quanto riguarda la convergenza uniforme non si potrà avere su nessun intervallo del tipo $(a,b)$ con $a<0$ e $b>0$ perchè se si avesse convergenza uniforme allora una successione di funzioni continue convergerebbe alla funzione $g$ che è discontinua in $0$.
Studio allora la convergenza uniforme sull'intervallo $(-oo,0)$: $"sup"_(x\in(-oo,0))|e^nx/(1+e^(nx))-0|=1/2$ perchè $d/(dx)(e^nx/(1+e^(nx)))=n*e^(nx)/(1+e^(nx))^2>0$ quindi la funzione è sempre crescente in questo intervallo e il $"sup"$ è assunto nell'estremo destro cioè $0$; si ha che $\lim_{n \to \infty}1/2=1/2!=0$ dunque non c'è convergenza uniforme su $(-oo,0)$.
Provo allora a considerare l'intervallo $(-oo,a]$ con $a<0$: $"sup"_(x\in(-oo,a))|e^nx/(1+e^(nx))-0|=e^(na)/(1+e^(na))$ perchè analogamente al caso precedente, essendo la derivata sempre positiva e dunque la funzione sempre crescente il $"sup"$ è raggiunto nell'estremo destro cioè $a$; si ha che $\lim_{n \to \infty}e^(na)/(1+e^(na))=0$ dunque si ha convergenza uniforme su ogni intervallo del tipo $(-oo,a)$ con $a<0$.
Studio poi la convergenza uniforme sull'intervallo $(0,+oo)$: $"sup"_(x\in(0,+oo))|e^(nx)/(1+e^(nx))-1|=\lim_{x \to +\infty}|e^(nx)/(1+e^(nx))-1|=0$ e $\lim_{n \to \infty}0=0$ dunque si ha convergenza uniforme sull'intervallo $(0,+oo)$.
Questi risultati sulla convergenza puntuale e uniforme sono corretti?
Altra questione: per come era formulato il problema ("studiare la convergenza della successione delle derivate") mi erano venuti in mente i due teoremi che legano convergenza uniforme e differenziabilità:
$T1$:
Sia $f_n:[0,1]->RR$, $n\inNN$, una successione di funzioni derivabili.
Supponiamo che:
i) Esista $x_0\in[0,1]$ tale che la successione $(f_n(x_0))_(n\inNN)$ converge.
ii) La successione di funzioni $(f_n')_(n\inNN)$ converge uniformemente ad una funzione $g:[0,1]->RR$.
Allora la successione $(f_n)_(n\inNN)$ converge uniformemente su $[0,1]$ ad una funzione $f:[0,1]->RR$, $f$ è derivabile ed $f'(x)=g(x)AAx\in[0,1]$.
$T2$:
Sia $(f_n)_(n\inNN)$ una successione di funzioni derivabili su $[0,1]$. Supponiamo che $(f_n)_(n\inNN)$ converga puntualmente e che $(f_n')_(n\inNN)$ converga uniformemente. Allora, per ogni $x\in[0,1]$ si ha $d/(dx)\lim_{n \to \infty}f_n(x)=\lim_{n \to \infty}d/(dx)f_n(x)$.
Questi teoremi potevano aiutarmi nello studio della convergenza di $(f_n)_(n\inNN)$ e di $(f_n')_(n\inNN)$?
Ora voglio studiare la convergenza puntuale e uniforme della successione delle derivate $(f_n')_(n\inNN)$.
Ho che $f_n'(x)=e^(nx)/(1+e^nx)$.
Se $x=0$ si ha $f_n'(0)=1/2$ e $\lim_{n \to \infty}1/2=1/2$.
Se $x>0$ si ha che $\lim_{n \to \infty}f_n'(x)=\lim_{n \to \infty}e^(nx)/(1+e^nx)=\lim_{n \to \infty}1/(1/e^(nx)+1)=1$.
Se $x<0$ si ha che $\lim_{n \to \infty}f_n'(x)=\lim_{n \to \infty}e^(nx)/(1+e^nx)=0$.
Quindi la successione di funzioni $(f_n')_(n\inNN)$ converge puntualmente alla funzione $g(x)={(0,if x<0),(1/2,if x=0),(1,if x>0):}$ su tutto $RR$.
Per quanto riguarda la convergenza uniforme non si potrà avere su nessun intervallo del tipo $(a,b)$ con $a<0$ e $b>0$ perchè se si avesse convergenza uniforme allora una successione di funzioni continue convergerebbe alla funzione $g$ che è discontinua in $0$.
Studio allora la convergenza uniforme sull'intervallo $(-oo,0)$: $"sup"_(x\in(-oo,0))|e^nx/(1+e^(nx))-0|=1/2$ perchè $d/(dx)(e^nx/(1+e^(nx)))=n*e^(nx)/(1+e^(nx))^2>0$ quindi la funzione è sempre crescente in questo intervallo e il $"sup"$ è assunto nell'estremo destro cioè $0$; si ha che $\lim_{n \to \infty}1/2=1/2!=0$ dunque non c'è convergenza uniforme su $(-oo,0)$.
Provo allora a considerare l'intervallo $(-oo,a]$ con $a<0$: $"sup"_(x\in(-oo,a))|e^nx/(1+e^(nx))-0|=e^(na)/(1+e^(na))$ perchè analogamente al caso precedente, essendo la derivata sempre positiva e dunque la funzione sempre crescente il $"sup"$ è raggiunto nell'estremo destro cioè $a$; si ha che $\lim_{n \to \infty}e^(na)/(1+e^(na))=0$ dunque si ha convergenza uniforme su ogni intervallo del tipo $(-oo,a)$ con $a<0$.
Studio poi la convergenza uniforme sull'intervallo $(0,+oo)$: $"sup"_(x\in(0,+oo))|e^(nx)/(1+e^(nx))-1|=\lim_{x \to +\infty}|e^(nx)/(1+e^(nx))-1|=0$ e $\lim_{n \to \infty}0=0$ dunque si ha convergenza uniforme sull'intervallo $(0,+oo)$.
Questi risultati sulla convergenza puntuale e uniforme sono corretti?
Altra questione: per come era formulato il problema ("studiare la convergenza della successione delle derivate") mi erano venuti in mente i due teoremi che legano convergenza uniforme e differenziabilità:
$T1$:
Sia $f_n:[0,1]->RR$, $n\inNN$, una successione di funzioni derivabili.
Supponiamo che:
i) Esista $x_0\in[0,1]$ tale che la successione $(f_n(x_0))_(n\inNN)$ converge.
ii) La successione di funzioni $(f_n')_(n\inNN)$ converge uniformemente ad una funzione $g:[0,1]->RR$.
Allora la successione $(f_n)_(n\inNN)$ converge uniformemente su $[0,1]$ ad una funzione $f:[0,1]->RR$, $f$ è derivabile ed $f'(x)=g(x)AAx\in[0,1]$.
$T2$:
Sia $(f_n)_(n\inNN)$ una successione di funzioni derivabili su $[0,1]$. Supponiamo che $(f_n)_(n\inNN)$ converga puntualmente e che $(f_n')_(n\inNN)$ converga uniformemente. Allora, per ogni $x\in[0,1]$ si ha $d/(dx)\lim_{n \to \infty}f_n(x)=\lim_{n \to \infty}d/(dx)f_n(x)$.
Questi teoremi potevano aiutarmi nello studio della convergenza di $(f_n)_(n\inNN)$ e di $(f_n')_(n\inNN)$?
@Thedarkhero.
Per quanto riguarda convergenza totale ed uniforme son d'accordo su quasi tutto,tranne il particolare non di poco conto che, fissato a piacere $a in[0,+oo)$,si ha
$"sup"_(x in (a,+oo))|f'_n(x)-g(x)|=..="sup"_(x in(a,+oo))|-1/(1+e^(nx))|="sup"_(x in(a,+oo))1/(1+e^(nx))=1/(1+e^(na))$ $AAn inNN$
(cio perchè,fissato a piacere $n inNN$,la $h_n(x)=1/(1+e^(nx)):(a,+oo) to RR$ decresce,come dimostrabile sia a norma di definizione che ricorrendo alla sua derivata prima $h'_n(x)=-1(1+e^(nx))^(-2)n e^(nx):(a,+oo) to RR$..),
e $"sup"_(x in [a,+oo))|f_n(x)-f(x)|=1/(1+e^(na))$ $AAn inNN$
(verifica del tutto analoga..);
pertanto,vista l'arbitrarietà di $a$ e l'indipendenza da esso di tal conclusione,potremo affermare come $EElim_(n to +oo)"sup"_(x in (a,+oo))|f_n(x)-f(x)|=lim_(n to oo)"sup"_(x in [a,+oo))|f_n(x)-f(x)|=lim_(n to oo)1/(1+e^(na))={ ( 1/2 text{ se a=0 } ),( 0 text{ se a>0} ):}$:
da ciò è abbordabilmente deducibile,anche considerando la tua giusta osservazione iniziale,l'equivalenza logica
"${f_n(x):RR to RR} _(n inNN)" converge uniformemente in "[a,+oo)$(e dunque anche in $(a,+oo)$..)$"verso"$ $fhArra>0$"..
D'altronde,a parziale risposta del tuo secondo quesito(*),te lo aspettavi;
è infatti vero che vale la seguente Proposizione:
${g_n(x):I to RR}_(n inNN) "uniformemente convergente in "I-{x_0}" ad una funzione "g$,
$"e tale che "EElim_(x to x_0)g_n(x)=l_n inRR$ $AAn inNNrArrEElim_(n to oo)l_n=l inRR,EElim_(x to x_0)g(x)=l$.
La sua dimostrazione che ho in testa (**) mi pare possa adattarsi in modo abbastanza naturale al caso d'un intorno destro;
se(grosso quanto l'Everest,ma non trovo controesempi nè potenziali errori nel mio ragionamento..)ho ragione poni allora,
nel suo enunciato,$I=[0,+oo),g_n(x)=(e^(nx))/(1+e^(nx))$ $AAn inNN$,
ed ammetti per assurdo che la tua succ di funzioni derivate converga uniformemente
("obbligata" per com'è,a quel punto,a farlo verso la restrizione a $(0,+oo)$ della $g$ da te ben dedotta..):
ne dedurresti che $EElim_(x to 0^+)g(x)=1/2$,e direi proprio che questo è falso!
Sospettavo io,che non conveniva complicarsi la Vita
,
ma ogni tanto,magari,torna utile
:
saluti dal web.
(*)Quella completa è che non son quelli gli unici due teoremi che,
per successioni di funzioni uniformemente convergenti,
valgono in merito alla scambiabilità degli operatori basilari dell'Analisi ed i concetti correlati,
ma degli altri,a volte meravigliosi a mio modo di vedere ma spesso utili più per "distruggere" che per confermare l'u.c.,
in questo caso non ti conviene far uso per non appesantire un ragionamento lineare ed efficace come il tuo:
cosa che d'altronde mi sento di dirti pure in merito al tuo precedente thread che,per questioni di tempo,
ho lasciato in sospeso fino ad oggi
(ma almeno spero che così t'ho dato risposta ad entrambi
.
(**)Considera che è abbastanza lontana l'Estate in cui preparai Analisi II,
ma fondamentalmente si tratta d'usare reiteratamente (tre volte,ad occhio..)qualcuna delle poche(uazz..
)versioni delle c.n.s. attraverso le quali il buon Augustin mise becco in ogni questione riguardante la convergenza,
e prima dell'ultima volta prolungare per continuita in $x_0$,in modo a quel punto alquanto naturale,ogni $g_n(x)$ e la $g$.
Edit:
nella terza riga avevo scordato un apice,
e che s'era chiamata $g$ la funzione verso cui convergeva puntualmente la successione delle derivate prime,
ed un paio di quantificatori universali quì e lì!
Per quanto riguarda convergenza totale ed uniforme son d'accordo su quasi tutto,tranne il particolare non di poco conto che, fissato a piacere $a in[0,+oo)$,si ha
$"sup"_(x in (a,+oo))|f'_n(x)-g(x)|=..="sup"_(x in(a,+oo))|-1/(1+e^(nx))|="sup"_(x in(a,+oo))1/(1+e^(nx))=1/(1+e^(na))$ $AAn inNN$
(cio perchè,fissato a piacere $n inNN$,la $h_n(x)=1/(1+e^(nx)):(a,+oo) to RR$ decresce,come dimostrabile sia a norma di definizione che ricorrendo alla sua derivata prima $h'_n(x)=-1(1+e^(nx))^(-2)n e^(nx):(a,+oo) to RR$..),
e $"sup"_(x in [a,+oo))|f_n(x)-f(x)|=1/(1+e^(na))$ $AAn inNN$
(verifica del tutto analoga..);
pertanto,vista l'arbitrarietà di $a$ e l'indipendenza da esso di tal conclusione,potremo affermare come $EElim_(n to +oo)"sup"_(x in (a,+oo))|f_n(x)-f(x)|=lim_(n to oo)"sup"_(x in [a,+oo))|f_n(x)-f(x)|=lim_(n to oo)1/(1+e^(na))={ ( 1/2 text{ se a=0 } ),( 0 text{ se a>0} ):}$:
da ciò è abbordabilmente deducibile,anche considerando la tua giusta osservazione iniziale,l'equivalenza logica
"${f_n(x):RR to RR} _(n inNN)" converge uniformemente in "[a,+oo)$(e dunque anche in $(a,+oo)$..)$"verso"$ $fhArra>0$"..
D'altronde,a parziale risposta del tuo secondo quesito(*),te lo aspettavi;
è infatti vero che vale la seguente Proposizione:
${g_n(x):I to RR}_(n inNN) "uniformemente convergente in "I-{x_0}" ad una funzione "g$,
$"e tale che "EElim_(x to x_0)g_n(x)=l_n inRR$ $AAn inNNrArrEElim_(n to oo)l_n=l inRR,EElim_(x to x_0)g(x)=l$.
La sua dimostrazione che ho in testa (**) mi pare possa adattarsi in modo abbastanza naturale al caso d'un intorno destro;
se(grosso quanto l'Everest,ma non trovo controesempi nè potenziali errori nel mio ragionamento..)ho ragione poni allora,
nel suo enunciato,$I=[0,+oo),g_n(x)=(e^(nx))/(1+e^(nx))$ $AAn inNN$,
ed ammetti per assurdo che la tua succ di funzioni derivate converga uniformemente
("obbligata" per com'è,a quel punto,a farlo verso la restrizione a $(0,+oo)$ della $g$ da te ben dedotta..):
ne dedurresti che $EElim_(x to 0^+)g(x)=1/2$,e direi proprio che questo è falso!
Sospettavo io,che non conveniva complicarsi la Vita
,ma ogni tanto,magari,torna utile
:saluti dal web.
(*)Quella completa è che non son quelli gli unici due teoremi che,
per successioni di funzioni uniformemente convergenti,
valgono in merito alla scambiabilità degli operatori basilari dell'Analisi ed i concetti correlati,
ma degli altri,a volte meravigliosi a mio modo di vedere ma spesso utili più per "distruggere" che per confermare l'u.c.,
in questo caso non ti conviene far uso per non appesantire un ragionamento lineare ed efficace come il tuo:
cosa che d'altronde mi sento di dirti pure in merito al tuo precedente thread che,per questioni di tempo,
ho lasciato in sospeso fino ad oggi
(ma almeno spero che così t'ho dato risposta ad entrambi
.(**)Considera che è abbastanza lontana l'Estate in cui preparai Analisi II,
ma fondamentalmente si tratta d'usare reiteratamente (tre volte,ad occhio..)qualcuna delle poche(uazz..
)versioni delle c.n.s. attraverso le quali il buon Augustin mise becco in ogni questione riguardante la convergenza,e prima dell'ultima volta prolungare per continuita in $x_0$,in modo a quel punto alquanto naturale,ogni $g_n(x)$ e la $g$.
Edit:
nella terza riga avevo scordato un apice,
e che s'era chiamata $g$ la funzione verso cui convergeva puntualmente la successione delle derivate prime,
ed un paio di quantificatori universali quì e lì!
Hai perfettamente ragione, stupido errore mio!
Su intervalli contenenti lo $0$ sapevo già che non potevo avere convergenza uniforme a causa del fatto che la successione di funzioni continue ha come funzione limite una funzione discontinua in $0$.
$"sup"_(0,+oo)|e^(nx)/(1+e^(nx))-1|=1/2$ e quindi non ho convergenza uniforme su $(0,+oo)$.
Posto $a>0$, $"sup"_[a,+oo)|e^(nx)/(1+e^(nx))-1|=|e^(na)/(1+e^(na))-1|$ e $\lim_{n \to \infty}|e^(na)/(1+e^(na))-1|=0$ e quindi ho convergenza uniforme su $[a,+oo)$.
Riguardo l'uso del teorema che lega differenziabilità e uniforme convergenza ho capito come lo si potrebbe usare (grazie), anche se mi sembra più semplice escludere gli intervalli contenenti lo zero per lo studio dell'uniforme convergenza per la non continuità della funzione limite in zero.
Grazie ancora
Su intervalli contenenti lo $0$ sapevo già che non potevo avere convergenza uniforme a causa del fatto che la successione di funzioni continue ha come funzione limite una funzione discontinua in $0$.
$"sup"_(0,+oo)|e^(nx)/(1+e^(nx))-1|=1/2$ e quindi non ho convergenza uniforme su $(0,+oo)$.
Posto $a>0$, $"sup"_[a,+oo)|e^(nx)/(1+e^(nx))-1|=|e^(na)/(1+e^(na))-1|$ e $\lim_{n \to \infty}|e^(na)/(1+e^(na))-1|=0$ e quindi ho convergenza uniforme su $[a,+oo)$.
Riguardo l'uso del teorema che lega differenziabilità e uniforme convergenza ho capito come lo si potrebbe usare (grazie), anche se mi sembra più semplice escludere gli intervalli contenenti lo zero per lo studio dell'uniforme convergenza per la non continuità della funzione limite in zero.
Grazie ancora
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