Teorema unicità del limite di una successione:

[Roslyn]

Buongiorno, volevo mostarvi i miei vari dubbi concerne questo teorema, che proprio non riesco a comprendere in fondo. Innanzitutto partiamo col dire che una successione convergente non può ammettere 2 limiti distinti. Per assurdo dico che esistano 2 limiti distinti, cioè supponiamo che an(n pedice) ---> a , an(n pedice)---> b con a ≠ b. Poniamo epsilon= |a-b|/2 (> 0) qui iniziano i miei dubbi.. perchè proprio questo valore di epsilon? da dove è uscito fuori? poi applico la definizione di limite ad entrambi i limiti:
1) esiste un indice v1(ni) : |an-a|<ε,∀n>v1; 2) esiste un indice v2(ni) : |an-b|<ε,∀n>v2;
Ponendo poi v=max(v1,v2) le relazioni sopra valgono contemporaneamentee si ha( utilizzando la disuguaglianza triangolare):
|a-b|=|(a-an)+(an-b)|=<(minore uguale) |a-an|+|an-b|=
=|an-a|+|an-b|<ε+ε= |a-b|
cosi abbiamo trovato che |a-b|< |a-b| che è assurdo.
I miei dubbi sorgono dal fatto di far valere contemporaneamente le relazioni 1 e 2... perchè? poi perchè si utilizza la disuguaglianza triangolare? e quali sono i passaggi? visto che non riesco a capire come fa? potete spiegarmi tutto passo passo? grazie mille... e scusate le molte domande...

[Rigel1]

Il valore di \(\epsilon\) lo scegli in maniera tale che gli intorni \((a-\epsilon, a+\epsilon)\) e \((b-\epsilon, b+\epsilon)\) siano disgiunti. Chiaramente il valore \(\epsilon = |a-b|/2\) è il più grande soddisfacente questa condizione (basta fare un disegno per convincersene). Potresti prendere anche qualsiasi valore positivo più piccolo di questo e andrebbe ugualmente bene.

Per il resto, ti consiglio di cominciare a imparare a scrivere le formule usando i codici (non è molto difficile) in modo da rendere più agevole la lettura dei tuoi post.