Analisi matematica di base
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Salve.
dopo il weekend su numeri complessi, sfera di riemann, funzioni complesse di variabile complessa e in primis definizione di funzione olomorfa e equazioni di cauchy - riemann. posto le prime domande relative all'argomento curve.
vado con calma e senza correre.
1) definizione sulle regioni.
$\Omega$ è una regione se $\Omega$ è non vuoto e $d\Omega$ è la sua frontiera, ed è una curva regolare a tratti.
quindi se la frontiera non è una curva regolare a tratti, ...
Sia $f:(-R,R)->RR$ la funzione $f(x)=\sum_{n=0}^(oo) a_nx^n$, $x\in(-R,R)$, dove $0<R<=oo$ è il raggio di convergenza della serie di potenze. Voglio mostrare che $f\inC^(oo)(-R,R)$.
Innanzitutto avevo pensato di mostrare che $f\inC^0(-R,R)$ osservando che è somma (infinita) di funzioni continue (polinomi) e dunque è una funzione continua; già qui però arrivano i primi problemi perchè essendo la somma infinita non sono sicuro che valga questo discorso. Come posso procedere?
Salve ragazzi potreste dirmi se la risoluzione di questo esercizio è corretta?
Stabilire se la funzione $f:\mathbb{R}^3 \setminus \ {0} \to \mathbb{R}$
$f(x,y,z)=\frac{e^{x^2yz}-1}{x^4+y^4+z^4}$
si può estendere a una funzione continua in $\mathbb{R}^3$
In sostanza dovrei fare
$\lim_{(x,y,z)\to 0}{\frac{e^{x^2yz}-1}{x^4+y^4+z^4}}$
e questo limite deve avere un valore finito? E' sufficiente er concludere che la funzione si può estendere per continuità?
Supponendo di si, faccio il limite
$\lim_{(x,y,z)\to 0}{\frac{e^{x^2yz}-1}{x^4+y^4+z^4}}$
dove in pratica, applico il limite ...
Buonasera a tutti,
avrei bisogno di una mano su questa questione di Analisi funzionale che non ho capito.
Si parla di spazi $L^p(X)$, con $p$ reale fissato, $0 < p < 1$ e $X$ di misura finita, e.g. $X=(0,1)$. Stando alla notazione del Rudin (che spero sia abbastanza universale), questo spazio è metrico completo, dove la metrica è
\[
d(f,g) := \int_X \vert f-g \vert^p d\mu
\]
ed è pertanto un $F$-spazio. Voglio far vedere che ...
un esercizio carino secondo me.
sia $a_n$ una successione di numeri reali tali che $a_{2n}\to l\in RR$.
allora quali delle seguenti affermazioni sono vere:
1) $a_{n^{2}}\to l$
2) $a_{n^{2}}\to (l/2)^{2}$
3) Se il $lim a_{n^{2}}$ esiste allora deve essere $l$
4) Se il $lim a_{n^{2}}$ allora può assumere valori diversi da $l$.
Ciao a tutti, ho un problema con la risoluzione di alcuni esercizi banali
Esercizio 1:
$lim_(x\to\+\infty)ln(x+2)/ln(x)$.
Ho pensato ad una cosa banalissima: usando la proprieta' dei logaritmi scompongo il numeratore in:
$lim_(x\to\+\infty)(ln(x)ln(2))/ln(x) = lim_(x\to\+\infty)ln(2) = ln(2)$. Ris. del libro: $1$.
Non capisco dove ho sbagliato. Ho applicato male le proprieta' dei log?
Secondo esercizio:
$lim_(x\to\+\infty)ln(1+sqrt(x))/ln(x)$. Sono uguali, ho usato lo stesso procedimento ma nulla.
$lim_(x\to\+\infty)ln(1+sqrt(x))/ln(x) = lim_(x\to\+\infty)(ln(1)ln(sqrt(x)))/ln(sqrt(x)^2) = lim_(x\to\+\infty)(ln(1)ln(sqrt(x)))/(2ln(sqrt(x)))$
$lim_(x\to\+\infty)(ln(1))/2 = 0/1 = 0$ Ma il risultato è ...
Posto un problema relativo alle serie ... spero sia giusto!
Sia $a_n>0$ una successione; provare che
\begin{align*}
\sum_{n=0}^\infty\,\, a_n \,\,\,\text{converge}\quad \Leftrightarrow\quad \sum_{n=0}^\infty\,\, a_n(1+a^3_n) \,\,\,\text{ è convergente}
\end{align*}
Soluzione
Cominciamo con il dimostrare la prima implicazione
"$\Rightarrow$ "
Se la serie $ \sum_{n=0}^\infty a_n$ converge allora $ \lim_{n \to \infty}a_n=0,$ e quindi certamente avremo che definitivamente ...
Salve, avrei bisogno di aiuto perchè non riesco a capire la soluzione di un esercizio così come l'ho trovata in una raccolta di temi d'esame.
L'argomento è questo: ho un campo vettoriale definito su un insieme non semplicemente connesso. Si chiede di verificare se il campo è conservativo. Essendo il campo irrotazionale io avrei cercato un potenziale. La soluzione proposta invece è questa: basta scegliere una curva chiusa, semplice, regolare a tratti, di traccia contenuta nel dominio, e ...
Ciao, sto avendo qualche problema nella comprensione di un esercizio. Si noti che è risolto (e non riesco comunque a cavarci niente):
Qualcuno che riesca a spiegarmelo dettagliatamente e in modo più chiaro? Nella prima parte mostra la densità come da suggerimento, ma perché usa una successione di razionali? E perché tutto questo dovrebbe essere funzionale alla risoluzione? Anche la seconda parte mi è poco chiara.
ringrazio in anticipo
Considero la serie geometrica [tex]\sum_{k=0}^{+\infty} x^k[/tex] e ne discuto la convergenza uniforme senza usare i risultati sulle serie di potenze.
La serie geometrica converge puntualmente per [tex]|x|
Ho alcune difficoltà nello svolgimento di un esercizio sul valore assoluto:
$f(x) = sqrt(|x - 3|-| x + 4|)$
Innanzitutto, essendo tutto sotto radice ( non so come allungare la radice ), ho posto $|x - 3| - |x + 4|$ maggiore o uguale di zero.
Poi, io so che la funzione valore assoluto ha doppio valore:
$\{(x -> x>0),(-x -> x<0):}$
Ora, tale proprietà, come la devo impostare ? Devo fare un doppio sistema tipo:
$\{(x - 3) > 0),(-(x - 3 < 0):}$
$\{(x + 4) > 0),(-(x + 4 < 0):}$
Oppure come ?
Qualcuno può aiutarmi?
in un esercizio arrivo a un punto in cui devo risolvere $ sum_(k = 0)^(oo ) (sinc(k/2))^(2) $
nella soluzione viene scritto sfuttando la def di $ sinc(x)=sin(pi x)/ (pi x)$
$sum_(k = 0)^(oo ) (sin(pi k/2)/ (pi k/2))^(2)$ =$ 1+ 8/pi^2sum_(k = 0)^(oo )1/(2k+1)^2 $
non capisco come è avvenuto l'ultimo passaggio, penso che abbia applicatola formula di taylor per il seno ma non riesco a capire come sia arrivato a questo risultato
1+ $ 8/pi^2sum_(k = 0)^(oo )1/(2k+1)^2 $
vi ringrazio.
ragazzi ho questo esercizio.
Sia $n>1$. Supponiamo che $Vsube RR$ con $n$ elementi.
Dimostrare che $V$ non è un intervallo.
Devo in sostanza provare che :
$\forall x,y \in V : x<y , {z \in RR : x<z<y} sube V$
Poiché $V$ è finito, siano $a_1,a_2,..,a_n \in RR$ gli elementi di $V$.
procedo per assurdo. Supponiamo per assurdo che $V=(a_1,a_n)$ sia un intervallo qualsiasi di $RR$. Poiché $V$ è un intervallo si ha in particolare che ...
Salve a tutti. Ho un problema con il seguente integrale definito in senso improprio, dal momento che viene richiesto di usare i criteri di convergenza per stabilire per quali valori di alpha (in R) questa si verifichi o meno.
$\int_0^(oo)((x^(\alpha))/((1+(sqrt(x)))(1+x)))dx$
N.B. Quello che segue è frutto della mia fantasia, prima che di regole matematiche.
Prima di tutto ho cercato le condizioni di esistenza della funzione integranda, ovvero $x!=-1$, pensando che fosse giusto assumere anche ...
Salve a tutti! Come potrei dimostrare che dati due spazi normati X e Y, il duale del prodotto cartesiano tra X e Y è uguale al prodotto cartesiano tra il duale di X e il duale di Y? Inoltre, su tale spazio, è definita la seguente norma: \( \left\|(x',y') \right\|=\left\|x' \right\|+\left\| y' \right\| \) per ogni x' in X' e y' in Y' ?
Sto affrontando un esercizio che, data una generica successione limitata \(\displaystyle an \), mi chiede di dire se esistano, fornendo esempi, il seguente limite:
\(\displaystyle lim \) \(\displaystyle n*an \)
Il mio dubbio deriva dal fatto che su molti appunti in pdf o forum online vedo scritto che se \(\displaystyle an \) è definitivamente positiva, allora il limite dell'esercizio sarà \(\displaystyle + oo \), se definitvamente negativa, \(\displaystyle -oo\). Questo però non mi torna, ...
Salve, ho fatto degli esercizi sulle serie però non riesco ad avanzare nei seguenti esercizi:
$\sum\frac{1+sen(\frac{\pi}{2}n)}{n}$
$\sum (\frac{\pi}{2}-arct\sqrt{n^3+1})$
$\sum [log(1-2n+n^3)-log(n^3-n)]$
$\sum (\frac{n+1}{2n+1})^{\sqrtn}$
gli ultimi due so farli però vorrei vedere cosa proporreste voi per affrontarli..grazie in anticipo.
Qualcuno riesce a dimostrare la seguente affermazione: Dato $E$ sottoinsieme di $R$ con $E$ non vuoto. Provare che se E ammette massimo allora non è aperto. Se E ammette massimo e minimo è vero che è chiuso?
Salve a tutti Vorrei chiedervi se potreste corregere la risoluzione di questo esercizio. Ho una funzione e devo verificare in quali punti di $\mathbb{R}^2$ è continua, derivabile e differenziabile
La prima funzione è la seguente
$g(x;y)={(\frac{y sin(y)}{\sqrt{x^2+y^2}},if (x;y) != (0;0)),(0,if (x;y) = (0;0)):}$
1) Per verificare la continuità
$\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{y sin(y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$
sostituendo le variabili con le coordinate polari ottengo che il limite è zero, e quindi la funzione è continua in tutto $\mathbb{R}^2$
2) Per essere derivabili, devono esistere le ...
Ciao tutti,
Ho incontrato questa scrittura:
$ E sube NN, ZZ, QQ, RR $ in $ RR $
È un modo per scrivere: $ E sube RR $ ??
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