Esercizi per prova intercorso Matematica Discreta

[GlassPrisoner91]

Ciao ragazzi, è il mio primo post. Mi servirebbe una mano per alcuni esercizi da svolgere nella prova intercorso di Matematica Discreta. Sareste così gentili da spiegarmi passo passo come si risolvono questi esercizi? Un grazie col cuore. Ecco gli esercizi:

1) Siano A, B, C tre insiemi tali che A ∩ B = C, B ∩ C = A e C ∩ A = B.
Provare che A = B = C.
Enunciare le leggi di De Morgan per gli insiemi.

2) Dimostrare che per ogni n>=3, si ha che n^2 > 2n + 1.

[ciampax]

1) Basta far vedere che, date le tre condizioni, sia verificato

[math]A\subseteq B[/math]

e

[math]B\subseteq A[/math]

. Abbiamo

[math]\forall\ a\in A=B\cap C\ \Rightarrow\ a\in B\ \wedge\ a\in C[/math]

da cui segue che

[math]A\subseteq B[/math]

. Analogamente

[math]\forall\ b\in B=C\cap A\ \Rightarrow\ b\in C\ \wedge\ b\in A[/math]

e pertanto

[math]B\subseteq A[/math]

. Le due inclusioni provano che

[math]A=B[/math]

. In modo simile si dimostrano le altre uguaglianze.

2) E' una dimostrazione per induzione: per far vedere che una certa proprietà

[math]P(n)[/math]

sia vera per ogni

[math]n\in\mathbb{N}[/math]

si procede in due passi:

i) si dimostra che la proprietà vale per un valore di partenza

[math]n_0[/math]

;
ii) si assume che valga

[math]P(n)[/math]

e si dimostra che vle

[math]P(n+1)[/math]

Andiamo a dimostrare:

i) nel nostro caso

[math]n_0=3[/math]

. Pertanto si ha

[math]P(3):\qquad 9>7[/math]

che è vera;

ii) vogliamo dimostrare che è vera

[math]P(n+1):\qquad (n+1)^2>2(n+1)+1=2n+3[/math]

Supponiamo che sia vera

[math]P(n)[/math]

: allora

[math](n+1)^2=n^2+2n+1>[/math]

(utilizzo il fatto che

[math]n^2>2n+1[/math]

)

[math]>2n+1+2n+1=2n+(2n+2)[/math]

Ora, dal momento che

[math]n\ge 3[/math]

si ha pure

[math]2n+2\ge 8>3[/math]

per cui

[math]2n+(2n+2)>2n+3[/math]

e la tesi è dimostrata.